¿Alguna vez te sientes aturdido cuando oyes hablar de la suma y la resta de números racionales? Si es así, no te preocupes, porque ¡este es tu día de suerte!
Este artículo te llevará a un tutorial paso a paso sobre cómo realizar sumas y restas de expresiones racionales, pero antes de eso, vamos a recordar qué son los números racionales.
Número racional
Un número racional es un número que se expresa en la forma de p/q, donde ‘p’ y ‘q’ son números enteros y q ≠ 0.
En otras palabras, un número racional es simplemente una fracción donde el entero a es el numerador, y el entero b es el denominador.
Algunos ejemplos de números racionales son: 2/3, 5/8, -3/14, -11/-5, 7/-9, 7/-15 y -6/-11, etc.
Expresión algebraica
Una expresión algebraica es una frase matemática en la que se combinan variables y constantes utilizando los símbolos operativos (+, -, × y ÷). Por ejemplo, 10x + 63 y 5x – 3 son ejemplos de expresiones algebraicas
Expresión racional
Hemos aprendido que los números racionales se expresan en forma de p/q. Por otro lado, una expresión racional es una fracción en la que el denominador o el numerador es una expresión algebraica. El numerador y el denominador son expresiones algebraicas.
Ejemplos de expresiones racionales son
3/ (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/(x2 + 3x -10), (x+3)/(x + 6) etc.
¿Cómo se suman las expresiones racionales?
Una expresión racional con denominadores iguales se suma de la misma manera que se hace con las fracciones. En este caso, se mantienen los denominadores y se suman los numeradores.
Ejemplo 1
Suma (1/4x) + (3/4x)
Solución
Se mantienen los denominadores y se suman los numeradores solos;
1/4x + 3/4x = (1 + 3)/4x
= 4/4x
Simplifica la fracción a sus términos más bajos;
4/4x = 1/x
Ejemplo 2
Suma (x + 6)/5 + (2x + 4)/5
Solución
Manteniendo el denominador, suma los numeradores;
(x + 6)/5 + (2x + 4)/5 = [(x + 6) + (2x + 4)]/5
= (x + 6 + 2x + 4)/5
Suma los términos semejantes y las constantes;
= (x + 2x +6 + 4)5
= (3x + 10)/5
Ejemplo 3
Suma 2/ (x + 7) + 8/ (x +7)
Solución
Manteniendo el denominador, suma los numeradores;
2/ (x + 7) + 8/ (x +7) = (2 + 8)/ (x + 7)
= 10/ (x + 7)
Suma de expresiones racionales con denominadores distintos
Para sumar expresiones racionales con denominadores diferentes, se siguen los siguientes pasos:
- Factorizar el denominador
- Determinar el mínimo común denominador (MCD). Esto se hace encontrando el producto de diferentes factores primos y el mayor exponente de cada factor.
- Reescribir cada expresión racional con el LCD como denominador multiplicando cada fracción por 1
- Combinar los numeradores y mantener el LCD como denominador.
- Reduce la expresión racional resultante si es posible
Ejemplo 4
Suma 6/x + 3/y
Solución
Encuentra el LCD de los denominadores. En este caso, el LCD = xy.
Reescribe cada fracción para que contenga el LCD como denominador;
(6/x) (y/y) + (3/y) (x/x)
= 6y/xy + 3x /xy
Ahora combina los numeradores manteniendo el denominador;
6y/xy + 3x /xy = (6y +3x)/xy
La fracción no se puede simplificar, por tanto, 6/x + 3/y = (6y +3x)/xy
Ejemplo 5
Suma 4/ (x 2 – 16) + 3/ (x 2 + 8x + 16)
Solución
Empieza a resolver factorizando cada denominador;
x 2 – 16 = (x + 4) (x -4),
y x 2 + 8x + 16 = (x +4) (x +4)
= (x + 4)2
4/ (x 2 – 16) + 3/ (x 2 + 8x + 16) = [4/ (x + 4) (x -4)] + 3/ (x + 4)2
Determina la CDL encontrando el producto de los diferentes factores primos y el mayor exponente de cada factor. En este caso, la CDL = (x – 4) (x + 4) 2
Reescribe cada racional con el LCD como denominador;
= [4/ (x + 4) (x -4)] (x + 4)/ (x + 4) + 3/ (x + 4)2(x – 4) (x -4)
= (4x + 16)/ [(x – 4) (x +4)2] + (3x – 12/ [(x- 4) (x +4)2]
Manteniendo los denominadores, suma los numeradores;
= (4x +3x + 16 -12)/ [(x- 4) (x +4)2]
= (7x + 4)/ [(x- 4) (x +4)2]
Como la fracción se puede simplificar aún más, por lo tanto
4/ (x 2 – 16) + 3/ (x 2 + 8x + 16) = (7x + 4)/ [(x- 4) (x +4)2]
¿Cómo restar expresiones racionales?
Podemos restar expresiones racionales con denominadores semejantes aplicando pasos similares a la suma.
Veamos algunos ejemplos:
Ejemplo 6
Resta 4/(x+1) – 1/ (x + 1)
Solución
Restamos los numeradores manteniendo los denominadores;
Por lo tanto
4/(x+1) – 1/ (x + 1) = (4- 1)/ (x + 1)
= 3/x +1
Por tanto, 4/(x+1) – 1/ (x + 1) =3/x +1
Ejemplo 7
Resta :(4x – 1)/ (x – 3) – (1 + 3x)/ (x – 3).
Solución
Manteniendo constante el denominador, resta los numeradores;
(4x – 1)/ (x – 3) + (1 + 3x)/ (x – 3) = [(4x -1) – (1 + 3x)]/(x-3)
Abre los paréntesis;
= [4x -1 – 1 – 3x]/(x-3) [ considera el PEMDAS]
= [4x – 3x – 1 -1]/x-3
= (x – 2)/ (x -3)
Ejemplo 8
Resta (x2 + 7x)/ (x – 7) – (10x + 28)/ (x – 7)
Solución
(x2 + 7x)/ (x – 7) – (10x + 28)/ (x – 7) = (x 2 + 7x – 10x -28)/(x-7)
= (x 2 -3x – 28)/ (x -7)
Resta de expresiones racionales con denominadores distintos
Vamos a aprenderlo con algunos ejemplos.
