Libro VI

Figuras geométricas semejantes y proporcionales

Este volumen contiene la teorí­a eudoxiana de la proposición a la geometría plana. Se establecen los Teoremas fundamentales de los triángulos semejantes y las construcciones de la tercera, la cuarta y la media proporcional. Se establece una solución geométrica a las ecuaciones cuádricas y la proposición de que la bisectriz interna del ángulo de un triángulo divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.


Definiciones

Definición 1

Figuras rectilíneas semejantes son las que tienen los ángulos iguales uno a uno y proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales.

Definición 2

Dos figuras están inversamente relacionadas cuando en cada una de las figuras hay razones antecedentes y consecuentes.

Definición 3

Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor.

Definición 4

En cualquier figura, la altura es la perpendicular dibujada desde el vértice hasta la base.

Proposiciones

Proposición 1

Los triángulos y los paralelogramos que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.

Proposición 2

Si se dibuja una recta paralela a uno de los lados de un triángulo, cortará proporcionalmente los lados del triángulo. Y si se cortan proporcionalmente los lados de un triángulo, la recta que une los puntos de sección será paralela al lado que queda del triángulo.

Proposición 3

Si se divide en dos partes iguales el ángulo de un triángulo, y la recta que corta el ángulo corta tconién a la base, los segmentos de la base guardarán la misma razón que los lados del triángulo que queden; y, si los segmentos de la base guardan la misma razón que los lados que quedan del triángulo, la recta dibujada desde el vértice hasta la sección dividirá en dos partes iguales al ángulo del triángulo.

Proposición 4

En los triángulos equiángulos, los lados que comprenden a los ángulos iguales son proporcionales y los lados que subtienden a los ángulos iguales son correspondientes.

Proposición 5

Si dos triángulos tienen los lados proporcionales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos los cuales subtienden a los lados correspondientes.

Proposición 6

Si dos triángulos tienen un ángulo igual el uno del otro, y tienen proporcionales los lados que comprenden los ángulos iguales, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos a los que subtienden los lados correspondientes.

Proposición 7

Si dos triángulos tienen un ángulo igual el uno del otro y tienen proporcionales los lados que comprenden a los otros ángulos, y tienen los ángulos que quedan de manera aparejada menores o no menores a un ángulo recto, los triángulos serán equiángulos y tendrán iguales los ángulos que comprenden los lados proporcionales.

Proposición 8

Si en un triángulo rectángulo se dibuja una perpendicular desde el ángulo recto hasta la base, los triángulos adyacentes a la perpendicular son semejantes al triángulo entero y entre sí.

Proposición 9

Restar de una recta dada la parte que se pida

Proposición 10

Dividir una recta dada no dividida de manera semejante a una recta dada que ya está dividida.

Proposición 11

Dadas dos rectas, encontrar una tercera proporcional.

Proposición 12

Dadas tres rectas, encontrar una cuarta proporcional.

Proposición 13

Dadas dos rectas, encontrar una media proporcional.

Proposición 14

En los paralelogramos iguales y equiángulos entre sí, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados, y los paralelogramos equiángulos que tienen los lados que comprenden los ángulos iguales inversamente relacionados, son iguales.

Proposición 15

En los triángulos iguales que tienen un ángulo igual el uno del otro, los lados que comprenden los ángulos iguales están inversamente relacionados. Y aquellos triángulos que tienen un ángulo igual el uno del otro y los lados que comprenden los ángulos iguales y que están inversamente relacionados, son iguales.

Proposición 16

Si cuatro rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias; y si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al rectángulo comprendido por las medias, las cuatro rectas serán proporcionales.

Proposición 17

Si tres rectas son proporcionales, el rectángulo comprendido por las extremas es igual al cuadrado de la media; y si el rectángulo comprendido por las extremas es igual al cuadrado de la media, las tres rectas serán proporcionales.

Proposición 18

A partir de una recta dada, construir una figura rectilínea semejante y situada de manera semejante a una figura rectilínea dada.

Proposición 19

Los triángulos semejantes guardan entre sí la razón duplicada de sus lados correspondientes.

Proposición 20

Los polígonos semejantes se dividen en triángulos semejantes e iguales en número y homólogos a los polígonos enteros y un polígono guarda con el otro una razón duplicada de la que guarda el lado correspondiente con el lado correspondiente.

Proposición 21

Les figures semejantes a una misma figura rectilínea son también semejantes entre sí.

Proposición 22

Si cuatro rectas son proporcionales, les figures rectilíneas semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas serán también proporcionales; y si, las figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de ellas son proporcionales, las propias rectas serán también proporcionales.

Proposición 23

Los paralelogramos equiángulos guardan entre sí la razón compuesta de las razones de sus lados.

Proposición 24

En todo paralelogramo, los paralelogramos situados alrededor de su diagonal son semejantes al paralelogramo entero y entre sí.

Proposición 25

Construir una misma figura semejante a una figura rectilínea dada, e igual a otra figura dada.

Proposición 26

Si se quita de un paralelogramo un paralelogramo semejante y situado de manera semejante al paralelogramo entero que tenga un ángulo común con él, está alrededor de la misma diagonal que el paralelogramo entero.

Proposición 27

De todos los paralelogramos aplicados a una misma recta y deficientes en figuras paralelogramas semejantes y situadas de forma semejante al construido a partir de la mitad de la recta, el paralelogramo mayor es el que es aplicado a la mitad de la recta y es semejante al defecto.

Proposición 28

Aplicar a una recta dada un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada deficiente en una figura paralelograma semejante a una dada; pero es necesario que la figura rectilínea dada no sea mayor que el paralelogramo construido a partir de la mitad y semejante al defecto.

Proposición 29

Aplicar a una recta dada un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada que exceda en una figura paralelograma semejante a una dada.

Proposición 30

Dividir una recta finita dada en extrema y media razón.

Proposición 31

En los triángulos rectángulos, la figura construida a partir del lado que subtiende el ángulo recto es igual a les figuras semejantes y construidas de manera semejante a partir de los lados que comprenden el ángulo recto.

Proposición 32

Si dos triángulos que tienen dos lados de uno proporcionales a dos lados del otro, se construyen unidos por un ángulo de manera que sus lados correspondientes sean paralelos, los lados restantes de los triángulos estarán en línea recta.

Proposición 33

En los círculos iguales , los ángulos guardan la misma razón que las circunferencias sobre las que están, tanto si están en el centro como si están en las circunferencias.