Teorema fundamental del cálculo

El teorema fundamental del cálculo (FTC) establece la conexión entre derivadas e integrales, dos de los conceptos principales en cálculo. También nos brinda una forma eficiente de evaluar integrales definidas.

Suponga que f (x) es continua en un intervalo [a, b]. Entonces F es una función que satisface F ‘(x)=f (x) si y solo si

para todas las x en [a, b].

Para comprender mejor la FTC, observe que cuando hemos elegido una x en particular, la integral,

es un número, por lo que depende solo de x, no de t. En este caso, t es un marcador de posición que recorre todos los valores entre ayx cuando integramos f de a a x.

Ejemplo 1

Evalúe la siguiente integral:

De la FTC, si podemos encontrar una función F que satisfaga F ‘(x)=x 2 , entonces:

Uno de esos F que satisface F ‘(x)=x 2 es:

según la regla del poder, entonces:

Corolario: La integración y la diferenciación son procesos inversos

Considere la función F en [a, b] definida por la integral

para alguna función continua f en [a, b]. Podría decirse que la consecuencia más importante de la FTC es que la derivada de F es:

entonces

para todas las x en [a, b]. Por lo tanto, por la FTC,

La derivada, F ‘(x), es:

La FTC y la regla de la cadena

Usando el corolario descrito en la sección anterior,

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junto con la regla de la cadena, podemos encontrar las derivadas de funciones como las que se muestran a continuación.

Ejemplo 2

Observe que el límite superior de la integral definida es x 2 en lugar de x, por lo que para establecer la regla de la cadena, hacemos la sustitución u=x 2 . La regla de la cadena implica que:

 =
 =
 =
 =

y entonces

 =
 =

Tenga cuidado con las variables independientes y de marcador de posición. Para evitar errores, es importante recordar exactamente con qué variables estamos integrando o diferenciando.

Ejemplo 3

Encuentre la derivada de

Este problema podría causar confusión ya que tenemos la variable independiente, x, mezclada con la variable de marcador de posición, t, debajo de la integral, y diferenciar o integrar con respecto a la variable incorrecta daría como resultado la respuesta incorrecta. Sin embargo, dado que la integral es con respecto a t debido al término dt, el término x 2 se puede tratar como constante, por lo que podemos factorizarlo fuera de la integral para obtener

Ahora podemos usar la regla del producto para encontrar :

y del corolario, entonces

 =

Prueba del teorema fundamental del cálculo

Recuerde la declaración original de FTC: Suponga que f (x) es continua en [a, b]. Entonces F es una función que satisface F ‘(x)=f (x) si y solo si

para todas las x en [a, b].

Para demostrar que si , entonces , primero asumimos que

para todas las x en [a, b]. Sumar F (a) a ambos lados nos da una expresión para F (x):

(1)

La definición de límite de F ‘(x) es:

Consulte la página derivados para obtener más información sobre la definición de límite de un derivado.

Colocando la ecuación (1) en la definición de límite de una derivada,

 =
 =

A medida que h se vuelve más pequeña, x + h se acerca a x, o más formalmente, . Por la continuidad de f, , así que cuando h va a 0, la función valora f (t) para todo t en el intervalo x ≤ t ≤ x + h también satisfacen , así que

 =
 =
 =

Ahora para demostrar que si F ‘(x)=f (x) entonces , suponga que F ‘(x)=f (x) para todo x en [a, b]. Esto también significa que cuando arreglamos una x en [a, b],

para todo t en el intervalo a ≤ t ≤ x. Conectando la sustitución anterior en la integral da

(2)

Podemos dividir el intervalo [a, x] en n intervalos [a, a + h], [a + h, a + 2h], …, [a + (n – 1) h, a + nh] donde . Esto nos prepara para ver el lado derecho como el límite de las sumas de Riemann:

(3)

donde cada t i es un valor aleatorio en el intervalo i th [a + (i – 1) h, a + ih]. Según el teorema del valor medio, existe en i * en el i th intervalo [a + (i – 1) h, a + ih] que satisface

Dado que los t i se eligen al azar, podemos reemplazar cada t i con t i * , por lo que el límite de las sumas de Riemann se convierte en

vg «>

(4)
 =
 =

Al extrapolar lo anterior, vemos que todos los términos intermedios se cancelan, dejando solo F (a + nh) y F (a) al principio y al final de la suma telescópica. También tenga en cuenta que F (a + nh) y F (a) al principio y al final de la suma telescópica. También tenga en cuenta que . Por lo tanto,

(5)

Al encadenar la serie de sustituciones dadas por (2) (5) , obtenemos

siempre que F ‘(x)=f (x) para todo x en [a, b].