Libro I

Los fundamentos de la Geometría Teo­ría de los triángulos, paralelas y el area

El libro I de ¬ęLos Elementos¬Ľ de Euclides, consta de 48 proposiciones que se pueden dividir en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los tri√°ngulos. De la 27 a la 32 establecen la teor√≠a de las paralelas y demuestran que la suma de los √°ngulos de un tri√°ngulo suman lo mismo que dos √°ngulos rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, tri√°ngulos, cuadrados, del Teorema de Pit√°goras y su inverso.

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Definiciones

Definición 1

Un punto es lo que no tiene partes.

Definición 2

Un línea es una longitud sin anchura.

Definición 3

Los extremos de una línea son puntos.

Definición 4

Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella.

Definición 5

Una superficie es aquello que sólo tiene longitud y anchura.

Definición 6

Los extremos de una superficie son líneas.

Definición 7

Una superficie plana es aquella superficie que yace por igual respecto de las líneas que están en ella

Definición 8

Un ángulo plano es la inclinación mutua de dos líneas que se encuentran una a otra en un plano y no están en línea recta.

Definición 9

Cuando las líneas que comprenden el ángulo son rectas, el ángulo se llama rectilíneo.

Definición 10

Cuando una línea recta que está sobre otra hace que los ángulos adyacentes sean iguales, cada uno de los ángulos es recto, y la recta que está sobre la otra se llama perpendicular a la otra recta.

Definición 11

Un √°ngulo obtuso es un √°ngulo mayor que un √°ngulo recto.

Definición 12

Un √°ngulo agudo es un √°ngulo menor que un √°ngulo recto.

Definición 13

Un límite es lo que es extremo de algo.

Definición 14

Una figura es aquello que está contenido por cualquier límite o límites.

Definición 15

Un círculo es una figura plana comprendida por una sola línea (llamada circunferencia) de tal modo que todas las rectas dibujadas que caen sobre ella desde un punto de los que están dentro de la figura son iguales entre sí.

Definición 16

Y el punto se llama centro del círculo.

Definición 17

Un diámetro de un círculo es una recta cualquiera que pasa por el centro y que acaba en ambas direcciones en la circunferencia del círculo; esta línea recta también divide el círculo en dos partes iguales.

Definición 18

Un semicírculo es la figura comprendida entre el diámetro y la circunferencia cortada por él. El centro del semicírculo es el mismo que el del círculo.

Definición 19

Figuras rectilíneas son aquellas que están comprendidas por líneas rectas, triláteras las comprendidas por tres, cuadriláteras les comprendidas por cuatro y multiláteras les comprendidas por más de cuatro líneas rectas.

Definición 20

De los triángulos, el equilátero es el que tiene los tres lados iguales; isósceles el que tiene dos lados iguales y uno de desigual; y escaleno el que tiene los tres lados desiguales.

Definición 21

De los tri√°ngulos, tri√°ngulo rect√°ngulo es el que tiene un √°ngulo recto, obtus√°ngulo el que tiene un √°ngulo obtuso y acut√°ngulo el que tiene los tres √°ngulos agudos.

Definición 22

De los cuadril√°teros, cuadrado es el que tiene los lados iguales y los √°ngulos rectos; rect√°ngulo el que es rectangular pero no equil√°tero; rombo el que es equil√°tero, pero no tiene los √°ngulos rectos; y romboide el que tiene los lados y los √°ngulos opuestos iguales, pero ni es equil√°tero ni tiene los √°ngulos rectos. Los otros cuadril√°teros se llaman trapecios.

Definición 23

Rectas paralelas son aquellas que, estando en un mismo plano y siendo prolongadas indefinidamente en ambos sentidos, no se encuentran una a otra en ninguno de ellos.

Postulados

Postulado 1

Por dos puntos diferentes pasa una sola línea recta.

Postulado 2

Un segmento rectilíneo puede ser siempre alargado.

Postulado 3

Hay una sola circunferencia con un centro y un radio dados.

Postulado 4

Todos los √°ngulos rectos son iguales.

Postulado 5

Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado √°ngulos interiores, la suma de los cuales sea menor que dos √°ngulos rectos; las dos rectas, suficientemente alargadas se cortar√°n en el mismo lado.

Nociones comunes

Noción comuna 1

Cosas iguales a una tercera son iguales entre sí.

Noción comuna 2

Si a cosas iguales se a√Īaden cosas iguales, los totales son iguales tambi√©n.

Noción comuna 3

Si a cosas iguales se quitan cosas iguales, los restos son iguales también.

Noción comuna 4

Las cosas que coinciden entre sí son iguales entre sí.

Noción comuna 5

El todo es mayor que la parte.

Proposiciones

Proposición 1

Construir un tri√°ngulo equil√°tero sobre un segmento dado.
Sea AB la recta finita dada.
Así pues, se ha de dibujar sobre la recta AB un triángulo equilátero.
Dibujar el círculo BCD con centro A y radio AB. Dibujar también el círculo ACE con centro B y radio BA. A partir del punto C, que es intersección de los dos círculos, dibujar las rectas CA y CB hasta los puntos A y B respectivamente.
Y dado que el punto A es el centro del círculo BCD, AC es igual a AB; y dado que el punto B es a su vez el centro del círculo ACE, BC es igual a BA. Se demuestra así que CA es igual a AB, por lo tanto, cada una de las rectas CA y CB es igual a AB. Ahora bien, las cosas iguales a una misma cosa son también iguales entre sí, por lo tanto, CA es también igual a CB y entonces CA, AB y BC son iguales entre sí.
Por lo tanto, el tri√°nguloABC es equil√°tero y ha sido construido sobre la recta finita dada AB.
Quod erat faciendum.

Proposición 2

Dibujar en un punto dado una recta igual a una recta dada.
Sea A el punto dado y BC la recta dada.
As√≠ pues, dib√ļjese a partir de A una recta igual a la recta BC.
Se dibuja, desde el punto A hasta el punto B la recta AB y se construye el tri√°ngulo equil√°tero ABD donde AE y BF son el resultado de prolongar DA y DB respectivamente.
Con centro B y radio BC se dibuja la circunferencia H y con centro D la circunferencia K.
Así pues, dado que el punto B es el centro de H entonces BC es igual a BG y, al mismo tiempo el punto D es el centro de K y por lo tanto DG también es igual a DL que comparten la misma medida DB y DA. Entonces, las partes restantes AL y BG son iguales. Una vez demostrado que BC es igual a BG entonces las rectas AL y BG son iguales a BC y las cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí. Por lo tanto, a partir del punto A se ha dibujado la recta AL que es igual a la recta BC dada.
Quod erat faciendum.

Proposición 3

Restar del mayor de dos segmentos dados un segmento igual al menor.

Sea AB y C dos rectas dadas diferentes, y sea AB el segmento mayor. Se requiere pues quitar de la recta mayor AB una recta igual a la menor C. Colocar sobre el punto A la recta AD igual al segmento C y describir el círculo DEF con centro en A y radio AD. [I 2, Post. 3]. Ahora, dado que el punto A es el centro del círculo DEF, entonces AE es igual a AD. [ I Def. 15]. Pero C es también igual a AD, entonces cada una de las rectas AE y C son iguales a AD, de modo que AE también es igual a C. [N.C. 1]. Por consiguiente, dadas dos rectas AB y C, ha sido cortado de AB el segmento AE igual al segmento menor C.

Quod erat faciendum.

Proposición 4

Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y tienen los ángulos comprendidos iguales, entonces también tendrán las bases iguales, y los triángulos serán iguales, y los ángulos restantes serán iguales, concretamente los opuestos a los lados iguales.
Sean ABC y DEF dos tri√°ngulos con dos lados AB y AC iguales a DE y DF respectivamente, a saber AB igual a DE y AC igual a DF, y el √°ngulo BAC igual al √°ngulo EDF.
Yo digo que la base BC es también igual a la base EF, el triángulo ABC es igual al triángulo DEF, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales, es decir, el ángulo ABC es igual al ángulo DEF, y el ángulo ACB es igual al ángulo DFE.
Si se superpone el triángulo ABC sobre el triángulo DEF, y el punto A sobre el punto D y la línea recta AB sobre DE, entonces el punto B coincide también con E, porque AB es igual a DE.
De nuevo, AB coincidiendo con DE, la línea recta AC también coincide con DF, porque el ángulo BAC es igual al ángulo EDF. Dado que el punto C también coincide con el punto F, porque AC es de nuevo igual a DF.
Pero B tabién coincide con E, dado que la base BC coincide con la base EF y son iguales. [Nociones Comunes 4].
Así el triángulo entero ABC coincide con el triángulo entero DEF y son iguales.
Y los ángulos restantes coinciden también con los ángulos restantes y son iguales, el ángulo ABC es igual al ángulo DEF, y el ángulo ACB es igual al ángulo DFE.
Por lo tanto si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y los ángulos comprendidos por líneas rectas iguales son iguales, entonces tiene las bases iguales, el triángulo es igual al triángulo, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales.
Q.E.D.

Proposición 5

En triángulos isósceles los ángulos en la base son iguales y, si los lados iguales se alargan, los ángulos situados bajo la base serán iguales entre sí.
Sea ABC un triángulo isósceles con el lado AB igual al lado AC, y sean las líneas rectas BD y CE alargadas en línea recta con AB y AC. [I Def.20].
Yo digo que el √°ngulo ABC es igual al √°ngulo ACB, y el √°ngulo CBD es igual al √°ngulo BCE.
Tomar un punto F arbitrariamente sobre BD. Quitar del segmento mayor AE un segmento AG igual al menor AF, y trazar las líneas rectas FC y GB. [I 3].
Dado que AF es igual a AG, y AB es igual a AC, entonces los dos lados FA y AC son iguales a los dos lados GA y AB, respectivamente, y contienen un √°ngulo com√ļn, el √°ngulo FAG.
Entonces la base FC es igual a la base GB, el tri√°ngulo AFC es igual al tri√°ngulo AGB, y los √°ngulos restantes son iguales a los √°ngulos restantes respectivamente, a saber los opuestos a los lados iguales, es decir, el √°ngulo ACF es igual al √°ngulo ABG, y el √°ngulo AFC es igual al √°ngulo AGB. [I 4].
Dado que el entero AF es igual al entero AG, y en ellos AB es igual a AC, entonces el restante BF es igual al restante CG. [Nociones comunes 3].
Pero se ha demostrado que FC es tambi√©n igual a GB, entonces los dos lados BF y FC son iguales a los dos lados CG y GB respectivamente, y el √°ngulo BFC es igual al √°ngulo CGB, mientras la base BC es com√ļn a ambos. Entonces el tri√°ngulo BFC es tambi√©n igual al tri√°ngulo CGB, y los √°ngulos restantes son iguales a los √°ngulos restantes respectivamente, a saber, los opuestos a los lados iguales. Entonces el √°ngulo FBC es igual al √°ngulo GCB, y el √°ngulo BCF es igual al √°ngulo CBG. [I 4].
Por consiguiente, dado que se ha demostrado que el √°ngulo entero ABG es igual al √°ngulo ACF, y en ellos el √°ngulo CBG es igual al √°ngulo BCF, el √°ngulo restante ABC es igual al √°ngulo restante ACB, y est√°n en la base del tri√°ngulo ABC. Pero se ha demostrado que el √°ngulo FBC es igual al √°ngulo GCB, y est√°n debajo la base. [Nociones comunes 3].
Entonces en un triángulo isósceles los ángulos en la base son iguales entre sí, y, si se alargan las líneas rectas iguales, entonces los ángulos debajo de la base son iguales uno al otro.
Q.E.D.

Proposición 6

Si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales uno al otro.
Sea ABC un tri√°ngulo con el √°ngulo ABC igual al √°ngulo ACB.
Yo digo que el lado AB es también igual al lado AC.
Si AB no es igual a AC, entonces uno de ellos es mayor. [N.C.].
Sea AB el mayor. Quitar del lado mayor AB el segmento DB igual al lado menor AC, y trazar DC. [I 3].
Dado que DB es igual a AC, y BC es com√ļn, entonces los dos lados DB y BC son iguales a los dos lados AC y CB respectivamente, y el √°ngulo DBC es igual al √°ngulo ACB. Entonces la base DC es igual a la base AB, y el tri√°ngulo DBC es igual al tri√°ngulo ACB, el menor es igual al mayor, lo cual es absurdo. Entonces AB no es desigual de AC, luego son iguales. [I 4]. [N.C.5].
Por lo tanto si en un triángulo dos ángulos son iguales, entonces los lados opuestos a los ángulos iguales también son iguales uno al otro.
Q.E.D.

Proposición 7

No se podr√°n levantar sobre la misma recta otras dos rectas iguales respectivamente a dos rectas, de modo que se encuentren en dos puntos distintos por el mismo lado y con los mismos extremos que las rectas dadas.
Sean dos líneas rectas construidas sobre una línea recta desde sus extremos y Given two straight lines constructed on a straight line (from its extremities) and meeting in a point, there cannot be constructed on the same straight line (from its extremities), and on the same side of it, two other straight lines meeting in another point and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it.
For, if possible, given two straight lines AC, CB constructed on the straight line AB and meeting at the point C, let two other straight lines AD, DB be constructed on the same straight line AB, on the same side of it, meeting in another point D and equal to the former two respectively, namely each to that which has the same extremity with it, so that CA is equal to DA which has the same extremity A with it, and [p. 259] CB to DB which has the same extremity B with it; and let CD be joined.
Then, since AC is equal to AD,
the angle ACD is also equal to the angle ADC; [I. 5]
therefore the angle ADC is greater than the angle DCB;
therefore the angle CDB is much greater than the angle DCB.
Again, since CB is equal to DB,
the angle CDB is also equal to the angle DCB.
But it was also proved much greater than it:
which is impossible.
Therefore etc.
Q. E. D.

Proposición 8

Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, y también tienen la base igual, también tendrán iguales los ángulos comprendidos por los segmentos iguales.

Proposición 9

Dividir en dos partes iguales un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 10

Dividir en dos partes iguales un segmento dado.

Proposición 11

Trazar una recta perpendicular a un segmento dado desde un punto del mismo segmento.

Proposición 12

Trazar una recta perpendicular a una recta por un punto exterior a ella.

Proposición 13

Si una recta levantada sobre otra recta forma √°ngulos, o bien formar√° dos √°ngulos rectos o bien dos √°ngulos iguales a dos √°ngulos rectos.

Proposición 14

Si dos rectas forman con una recta cualquiera y en un punto de ella ángulos adyacentes iguales a dos rectos y no están en el mismo lado de ella, ambas rectas estarán en línea recta.

Proposición 15

Dos segmentos que se cortan el uno al otro producen √°ngulos opuestos iguales.
Corolario. Si dos segmentos se cortan el uno a oltro, producecen en la intersección ángulos que suman cuatro ángulos rectos.

Proposición 16

En cualquier tri√°ngulo, si se alarga uno de los lados, el √°ngulo exterior es mayor o igual que el √°ngulo interior y los √°ngulos opuestos.

Proposición 17

En cualquier tri√°ngulo, la suma de cualquiera de los dos √°ngulos es menor que dos √°ngulos rectos.

Proposición 18

En cualquier tri√°ngulo, el √°ngulo m√°s grande es el opuesto al lado mayor.

Proposición 19

En cualquier tri√°ngulo, el lado m√°s grande es el opuesto al √°ngulo mayor.

Proposición 20

En cualquier tri√°ngulo la suma de cualquiera de los dos lados es mayor que el tercero.

Proposición 21

Si de los extremos de uno de los lados de un tri√°ngulo se construyen dos segmentos que se encuentren dentro del tri√°ngulo, entonces la suma de los lados construidos es menor que la suma de los otros dos lados del tri√°ngulo, pero los segmentos construidos comprenden un √°ngulo mayor que el comprendido por los dos lados.

Proposición 22

Construir un tri√°ngulo con tres rectas que son iguales a tres rectas dadas. Pero es necesario que dos de las rectas tomadas juntas de cualquier manera sean mayores que la restante.

Proposición 23

Construir sobre un segmento dado y en un punto sobre él, un ángulo rectilíneo igual a un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 24

Si dos triángulos tienen iguales dos lados, pero el ángulo comprendido en uno de ellos es mayor que el del otro, la base también será mayor.

Proposición 25

Si dos triángulos tienen dos lados respectivos iguales, pero la base es mayor en uno que en otro, entonces el ángulo comprendido es también mayor en un que en el otro.

Proposición 26

Si dos tri√°ngulos tienen dos √°ngulos respectivos iguales, y uno de los lados, el que une los dos √°ngulos iguales o el opuesto a uno de los √°ngulos iguales, entonces los lados que quedan son iguales y el √°ngulo restante es igual.

Proposición 27

Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace los ángulos alternos iguales entre sí, las dos rectas serán paralelas entre sí.

Proposición 28

Si un segmento al incidir sobre dos rectas hace el ángulo externo igual al interno y opuesto del mismo lado, o los dos internos del mismo lado iguales a dos ángulos rectos, las rectas serán paralelas entre sí.

Proposición 29

Una recta que corta a otras dos rectas paralelas hace que los √°ngulos alternos iguales, los √°ngulos externos iguales a los interiores y opuestos, y la suma de los √°ngulos internos por el mismo lado iguales a dos rectos.

Proposición 30

Las rectas paralelas a una recta dada también son paralelas entre sí.

Proposición 31

Construcción de una recta paralela a una dada por un punto dado.

Proposición 32

En cualquier tri√°ngulo, si un de los lados se prolonga, el √°ngulo exterior es igual a la suma de los √°ngulos interiores y opuestos, y la suma de los tres √°ngulos del tri√°ngulo es de dos √°ngulos rectos.

Proposición 33

Los segmentos que unen los extremos de segmentos iguales y paralelos en la misma dirección son también iguales y paralelos.

Proposición 34

Los lados y √°ngulos opuestos de un paralelogramo son iguales uno al otro y la diagonal divide el √°rea en dos partes iguales.

Proposición 35

Los paralelogramos que est√°n sobre la misma base y est√°n contenidos entre las mismas paralelas, son iguales.

Proposición 36

Los paralelogramos que tienen las bases iguales y están contenidoss entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.

Proposición 37

Los triángulos que están sobre bases iguales y contenidos entre las mismas paralelas, son iguales entre sí.

Proposición 38

Triángulos que están en bases iguales y contenidos entre paralelas, son iguales entre sí.

Proposición 39

Triángulos iguales que están sobre la misma base i en el mismo lado, están también entre las mismas paralelas.

Proposición 40

Triángulos iguales que están sobre bases iguales y en el mismo lado, están contenidos también entre las mismas paralelas.

Proposición 41

Si un paralelogramo tiene la misma base que un tri√°ngulo y est√° contenido entre las mismas paralelas, el paralelogramo es el doble del tri√°ngulo.

Proposición 42

Construir en un ángulo rectilíneo dado un paralelogramo igual a un triángulo dado.

Proposición 43

En cualquier paralelogramo los complementos de los paralelogramos situados en torno a la diagonal son iguales entre sí.

Proposición 44

Dado un segmento construir con un √°ngulo dado un paralelogramo igual a un tri√°ngulo dado.

Proposición 45

Construir un paralelogramo igual a una figura rectilínea dada con un ángulo rectilíneo dado.

Proposición 46

Construir un cuadrado sobre un segmento dado.

Proposición 47

En los tri√°ngulos rect√°ngulos el cuadrado del lado opuesto al √°ngulo recto es igual a la suma de los cuadrados de los lados que comprenden el √°ngulo recto.

Proposición 48

Si en un tri√°ngulo el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de los dos lados restantes, el √°ngulo comprendido por esos dos lados restantes del tri√°ngulo es recto.