Geometría proyectiva

El interés en la geometría proyectiva aparece en varios campos de la computación visual, especialmente en el modelado de visión por computadora y sus gráficos. El aspecto básico es el hecho de que los objetos en el infinito se pueden representar, manipular con geometría proyectiva, que es lo contrario a la que sustenta la Geometría Euclidiana. Esto permite que la distorsión de la perspectiva se exprese como una proyección.

Este enfoque no requiere una definición filosófica de lo que realmente «es» un punto o una línea, solo una lista de propiedades (axiomas) que satisfacen. Los teoremas de la geometría son todos enunciados que se pueden deducir de estas propiedades. En este enfoque, se garantiza que los teoremas de la geometría son verdaderos sin importar qué concepto de «punto» o «línea» se esté utilizando y sin importar cómo se definan, siempre que satisfagan los axiomas básicos.

Euclides escribió una lista de estos axiomas: cinco de ellos (aunque en realidad hay algunos otros axiomas implícitos en las definiciones de Euclides). Los llamó postulados. Los primeros cuatro postulados son tan evidentes por sí mismos que claramente deberían satisfacerse con cualquier cosa digna del nombre de «geometría«. Hay diferentes formas de expresarlos pero básicamente dicen cosas como «para cualquier par de puntos, hay una línea única que pasa por ambos».

Sin embargo, el quinto postulado no está en la misma categoría. La versión de Euclides era bastante complicada; una versión más simple y equivalente dice que para cualquier línea L y un punto P que no está en L, existe una línea única que es paralela a L (nunca se encuentra con L) y pasa por P. Por esta razón, el quinto postulado se llama paralelo postulado.

A primera vista, parecería que el postulado paralelo debería ser un teorema deducible de los otros postulados más básicos, en lugar de algo que deba asumirse por separado. Durante siglos, los matemáticos intentaron demostrarlo, pero siempre fracasaron. Por ejemplo: de los primeros cuatro postulados de Euclides se deduce que hay un segmento de línea perpendicular de P a L. Entonces puedes dibujar una línea única a través de P que sea perpendicular a ese segmento de línea. En cierto sentido, esto es paralelo a L porque los dos ángulos en la imagen de abajo son ángulos rectos, pero ¿cómo se puede probar a partir de esto que esto significa que las líneas nunca se cruzan? Sabemos que no lo hacen en nuestra imagen mental familiar de cómo se ve un plano infinito, pero ¿es ese hecho una necesidad lógica deducible de los otros postulados?

Cómo definimos la Geometría Proyectiva?

Podemos coger cada línea de la geometría euclidiana ordinaria y agrégarle un objeto adicional llamado «punto en el infinito». Si hacemos esto de tal manera que agregamos el mismo objeto adicional a las líneas paralelas (de modo que las líneas extendidas ahora se crucen), mientras que se agregan diferentes objetos adicionales a las líneas no paralelas (de modo que las líneas extendidas no se crucen más de una vez).

La geometría proyectiva se puede considerar como la colección de todas las líneas que pasan por el origen en un espacio tridimensional. En otras palabras, cada punto de la geometría proyectiva es en realidad una línea que pasa por el origen en el espacio tridimensional. La distancia entre dos puntos se puede considerar como el ángulo entre las líneas correspondientes. Una línea en la geometría de proyección es en realidad una serie de líneas que pasan por el origen en el espacio tridimensional.