La operación de las expresiones racionales puede parecer difícil a algunos alumnos, pero las reglas para multiplicar expresiones son las mismas que con los números enteros. En matemáticas, un número racional se define como un número de la forma p/q, donde p y q son números enteros y q no es igual a cero.
Ejemplos de números racionales son: 2/3, 5/8, -3/14, -11/-5, 7/-9, 7/-15 y -6/-11, etc.
Una expresión algebraica es una frase matemática en la que se combinan variables y constantes utilizando los símbolos operativos (+, -, × y ÷).
Por ejemplo, 10x + 63 y 5x – 3 son ejemplos de expresiones algebraicas. Del mismo modo, una expresión racional tiene la forma p/q, y una o ambas p y q son expresiones algebraicas.
Algunos ejemplos de expresiones racionales son 3/ (x – 3), 2/ (x + 5), (4x – 1)/3, (x2 + 7x)/6, (2x + 5)/ (x2 + 3x – 10), (x + 3)/(x + 6) etc.
¿Cómo multiplicar expresiones racionales?
En este artículo, aprenderemos a multiplicar expresiones racionales, pero antes, recordemos que se multiplican dos fracciones.
La multiplicación de dos fracciones implica encontrar el numerador de la primera y la segunda fracción y el producto del denominador. En otras palabras, la multiplicación de dos números racionales es igual al producto de los numeradores/producto de sus denominadores.
Del mismo modo, la multiplicación de números racionales es igual al producto de sus numeradores/producto de sus denominadores. Por ejemplo, si a/b y c/d son dos expresiones racionales, la multiplicación de a/b por c/d viene dada por; a/b × c/d = (a × c)/ (b × d).
Alternativamente, puedes realizar la multiplicación de expresiones racionales; primero factorizando y cancelando el numerador y el denominador y luego multiplicando los factores restantes.
A continuación se indican los pasos necesarios para multiplicar expresiones racionales:
Factorizar el denominador y el numerador de cada expresión.
Reducir las expresiones a los términos más bajos posibles sólo si los factores de los numeradores y denominadores son comunes o similares.
Multiplicar las expresiones restantes.
Ejemplo 1
Multiplicar 3/5y * 4/3y
Solución
Multiplica por separado los numeradores y los denominadores;
3/5y * 4/3y = (3 * 4)/ (5y * 3y)
= 12/15y 2
Reduce la fracción anulando por 3;
12/15y 2 = 4/5y2
Ejemplo 2
Multiplica {(12x – 4x 2)/ (x 2 + x -12)} * {(x 2 + 2x -8)/ (x 3-4x)}
Solución
Factoriza tanto los numeradores como los denominadores de cada expresión;
= {- 4x (x – 3)/(x-3) (x + 4)} * {(x – 2) (x + 4)/x (x + 2) (x – 2)}
Reduce o cancela las expresiones y reescribe la fracción restante
= -4/ x + 2
Ejemplo 3
Multiplica (x 2 – 3x – 4/x 2 -x -2) * (x 2 – 4/ x2 + x – 20).
Solución
Factoriza los numeradores y denominadores de todas las expresiones;
= (x – 4) (x + 1)/ (x + 1) (x – 2) * (x + 2) (x – 2)/ (x – 4) (x + 5)
Anula y reescribe los factores restantes;
= x + 2/ x + 5
Ejemplo 4
Multiplicar
(9 – x 2/x 2 + 6x + 9) * (3x + 9/3x – 9)
Solución
Factoriza los numeradores y denominadores y cancela los factores comunes;
= – 1 (x + 3) (x – 3)/ (x + 3)2 * 3(x + 3)/3(x – 30
= -1
Ejemplo 5
Simplifica: (x2+5x+4) * (x+5)/(x2-1)
Solución
Factorizando el numerador y el denominador, obtenemos
=>(x+1) (x+4) (x+5)/(x+1) (x-1)
Al cancelar los términos comunes, obtenemos;
=>(x+4) (x+5)/x-1
Ejemplo 6
Multiplicar ((x + 5) / (x – 4)) * (x / x + 1)
Solución
= ((x + 5) * x) / ((x – 4) * (x + 1))
= (x2 + 5x) / (x2 – 4x + x – 4)
= (x2 + 5x) / (x2 – 3x- 4)
Cuando se multiplica un número entero por una expresión algebraica, se multiplica el número por el numerador de la expresión.
Esto es posible porque cualquier número entero siempre tiene un denominador de 1. Y por lo tanto, las reglas de multiplicación entre una expresión y un entero no cambian.
Consideremos el ejemplo 7 que aparece a continuación:
Ejemplo 7
Multiplicar ((x + 5) / (x2 – 4)) * x
Solución
= ((x + 5) / (x2 – 4)) * x / 1
= (x + 5) * x / (x2 – 4) × 1
= (x2 + 5x) / (x2 – 4)
Preguntas de práctica
Simplifica las siguientes expresiones racionales:
4xy2/3y * 2x/4y
(8x 2 – 6x/ 4 – x) * (x 2 -16/4x 2 -x – 3) * (-5x -5/2x + 8)
(x2 – 7x + 10/ x 2 – 9x + 14) * (x 2 – 6x -7/x 2 + 6x + 5)
(2x + 1/x2 – 1) * (x + 1/2x 2 + x)
(-3x 2 +27/x3 – 1) * (7×3 + 7×2 + 7x/x – 3x) * (x – 1/21)
(x2 – 5x – 14/ x2 – 3x + 2) * (x 2 – 4/x2 – 14x + 49)
El producto de la suma y la diferencia de dos números es igual a 17. Si el producto de los dos números es 72, ¿cuáles son los dos números?
Respuestas
2×2/3
5x
x+2/x-2
1/x (x – 1)
- x – 3
(x + 2)2/ (x – 1) (x – 7)
8 & 9
