Derivada

La derivada de una función f (x ) es otra función denominada o f ‘(x ) que mide el cambio relativo de f (x ) con respecto a un cambio infinitesimal en x . Si comenzamos en x=a y movemos x un poco hacia la derecha o hacia la izquierda, el cambio en las entradas es ∆x=x – a , que provoca un cambio en las salidas ∆x=f (x ) – f (a ). Cuando el cambio en las entradas ∆x=x – a , que causa un cambio en las salidas ∆f=f (x ) – f (a ). Cuando el cambio en las entradas ∆x=x – a es lo suficientemente pequeño, la derivada de f en el punto a se aproxima por la proporción:

La derivada de f en a , denotado o f ‘(a ), se define como

En un punto arbitrario x , la derivada mide el cambio relativo en f (x) como x se mueve una pequeña cantidad, h , derecha o izquierda. Esta vez, el cambio en x es ∆x=h , lo que provoca el cambio ∆f=f (x + h ) – f (x ) en f . Por lo tanto, una definición alternativa de la derivada en x es:

Nota: Dado que la derivada mide el cambio relativo, o la proporción de cambios, entre f y x , tiene sentido por qué usamos la notación debido a la notación df (x ) representa una pequeña diferencia, o cambio, en f (x ) y dx representan una pequeña diferencia o cambio en x .

Ejemplo: derivada de f (x)=x ² :

Si f (x ) =x ² , luego usando la h → 0 definición de la derivada,

		=
		=
		=

Ahora que cada término en el numerador y denominador tiene un factor de h , podemos cancelar la salida de h para obtener:

Por lo tanto,

Esto significa que la pendiente de la línea tangente de f (x ) =x ² por ejemplo, x=1 , sería :

Como generalización de f (x ) =x < sup>2 , la derivada de f (x ) =x ⁿ , donde n es cualquier número real, es:

Lo anterior se denomina regla de poder.

Ejemplo: derivada de f (x)=sin (x)

Si f (x ) =sin (x ), luego usamos la definición h → 0 de la derivada para obtener:

=

Luego, podemos usar la suma de la identidad trigonométrica de ángulos para expandir sin (x + h ) en:

Usando esta identidad y continuando desde arriba,

=

Observe que cos (h )=cos (0 ) =1 , por lo que podemos reemplazar el sin (x ) cos (h ) arriba con sin (x ) para obtener:

		=
		=

Dado el límite especial:

,

podemos determinar el límite como

Tabla de reglas derivadas

Función	Derivado
	( regla de poder)
para alguna constante a & gt; 0 y un ≠ 1
para alguna constante a & gt; 0
para cualquier constante cy función f
para cualquier función f y g
	100.sv rule «>regla de producto
		regla en cadena

Derivadas indefinidas

Nota: De aquí en adelante, siempre que digamos «la pendiente del gráfico de f en x , queremos decir «la pendiente de la línea tangente al gráfico de f en x .»

En algunos casos, la derivada de una función f puede no existir en ciertos puntos del dominio de f , o incluso nada. Eso significa que en ciertos puntos, la pendiente del gráfico de f no está bien definida. Algunos casos en los que la pendiente no está bien definida incluyen:

1. Funciones discontinuas

La función anterior no tiene pendiente en a porque la pendiente de la derecha no coincide con la pendiente de la izquierda.

2. Funciones con un giro brusco

La función f (x ) =| x | tiene un giro brusco en x=0 , donde la pendiente cambia repentinamente de – 1 a la izquierda a 1 a la derecha.

3. Funciones con tangente vertical o pendiente infinita

La pendiente de se acerca a ∞ desde ambos lados de x=0 .

¿Sabías que ??

La función Weierstrass es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte. La función Weierstrass es «infinitamente irregular», lo que significa que no importa qué tan cerca se acerque en cualquier punto, siempre verá protuberancias. Por lo tanto, nunca verá una línea recta con una pendiente bien definida, sin importar cuánto acerque.