Libro X

Clasificaci贸n de los inconmensurables

Este volumen contiene y trata los n煤meros irracionales, es decir, de los segmentos que son inconmensurables respecto al segmento rectil铆neo dado. Considerado el Libro X como un volumen complejo tanto por problemas de traducci贸n como de interpretaci贸n. Consta de 16 definiciones repartidas en 3 grupos y 115 proposiciones. Se cree que gran parte de este volumen corresponde al trabajo de Theaetetus y que Euclides complet贸, orden贸 y acab贸.


Definiciones

Definici贸n 1

Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, y inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida com煤n.

Definici贸n 2

Las l铆neas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma 谩rea, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un 谩rea como medida com煤n.

Definici贸n 3

Dadas estas premisas, se demuestra que hay un n煤mero infinito de rectas respectivamente conmensurables y inconmensurables, unas s贸lo en longitud y otras tambi茅n en cuadrado con una recta determinada. Se llama entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien s贸lo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella se llaman no racionalmente expresables.

Definici贸n 4

Y el cuadrado de la recta determinada se llama racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con 茅ste racionalmente expresables; pero los inconmensurables con 茅l se llaman no racionalmente expresables; y las rectas que los producen se llaman no racionalmente expresables, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectil铆neas, aquellas rectas que construyan cuadrados iguales a ellos.

Definici贸n 5

Dada una recta expresable y otra de binomial dividida en sus t茅rminos, de manera que el cuadrado del t茅rmino mayor sea mayor que el cuadrado del t茅rmino menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con el mayor; si el t茅rmino mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama primera binomial.

Definici贸n 6

Y si el t茅rmino menor es conmensurable en longitud con la recta expresable, la recta entera se llama segunda binomial.

Definici贸n 7

Pero si ninguno de los t茅rminos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama tercera binomial.

Definici贸n 8

Si el cuadrado del t茅rmino mayor es a su vez, mayor que el del menor en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con el mayor, entonces, si el t茅rmino mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama cuarta binomial.

Definici贸n 9

Pero si lo es el menor, quinta binomial.

Definici贸n 10

Y si ninguno de los dos, sexta binomial.

Definici贸n 11

Dada una recta expresable y ap贸toma, si el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la recta adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con la recta entera, y la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta ap贸toma se llama primera ap贸toma.

Definici贸n 12

Y si la recta adjunta es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta se llama segunda ap贸toma.

Definici贸n 13

Y si ninguna de las dos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta ap贸toma se llama tercera ap贸toma.

Definici贸n 14

Si, a su vez, el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta inconmensurable con la recta entera, entonces, si la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la ap贸toma se llama cuarta ap贸toma.

Definici贸n 15

Pero si la adjunta es conmensurable, se llama quinta ap贸toma.

Definici贸n 16

Y si ninguna de las dos es conmensurable, se llama sexta ap贸toma.

Proposiciones

Proposici贸n 1

Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una magnitud mayor que la su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y as铆 sucesivamente, quedar谩 una magnitud que ser谩 menor que la magnitud menor donada.

Proposici贸n 2

Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la que queda nunca mide a la anterior, las magnitudes ser谩n inconmensurables.

Proposici贸n 3

Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida com煤n m谩xima.

Proposici贸n 4

Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida com煤n m谩xima.

Proposici贸n 5

Las magnitudes conmensurables guardan entre s铆 la misma raz贸n que un n煤mero guarda con un n煤mero.

Proposici贸n 6

Si dos magnitudes guardan entre s铆 la raz贸n que un n煤mero guarda con un n煤mero, las magnitudes ser谩n conmensurables.

Proposici贸n 48

Hallar una recta primera binomial.

Proposici贸n 49

Hallar una recta segunda binomial.

Proposici贸n 50

Hallar una recta tercera binomial.

Proposici贸n 51

Hallar una recta cuarta binomial.

Proposici贸n 52

Hallar una recta quinta binomial.

Proposici贸n 53

Hallar una recta sexta binomial.

Proposici贸n 54

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una primera binomial, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es la recta no expresable llamada binomial.

Proposici贸n 55

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una segunda binomial, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es la recta no expresable llamada primera binomial.

Proposici贸n 56

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una tercera binomial, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es la recta no expresable llamada segunda binomial.

Proposici贸n 57

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una cuarta binomial, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es la recta no expresable llamada mayor.

Proposici贸n 58

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una quinta binomial, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es la recta no expresable llamada lado del cuadrado equivalente a un 谩rea expresable m谩s un 谩rea medial.

Proposici贸n 59

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una sexta binomial, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es la recta no expresable llamada lado del cuadrado equivalente a la suma de dos 谩reas mediales.

Proposici贸n 60

El cuadrado de una binomial aplicado a una recta expresable produce como anchura una primera binomial.

Proposici贸n 61

El cuadrado de una recta primera binomial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una segunda binomial.

Proposici贸n 62

El cuadrado de una recta segunda binomial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una tercera binomial.

Proposici贸n 63

El cuadrado de una recta mayor, aplicado a una recta expresable produce como anchura una cuarta binomial.

Proposici贸n 64

El cuadrado del lado de un 谩rea expresable m谩s una medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una quinta binomial.

Proposici贸n 65

El cuadrado del lado de la suma de dos 谩reas mediales aplicado a una recta expresable produce como anchura una sexta binomial.

Proposici贸n 66

Una recta conmensurable en longitud con una binomial es tambi茅n binomial y del mismo orden.

Proposici贸n 67

La recta conmensurable en longitud con una bimedial es tambi茅n bimedial y del mismo orden.

Proposici贸n 68

Una recta conmensurable con una recta mayor es tambi茅n mayor.

Proposici贸n 69

Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a un 谩rea expresable m谩s una medial es ella misma tambi茅n el lado del cuadrado equivalente a un 谩rea expresable m谩s una medial.

Proposici贸n 70

Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos 谩reas mediales es tambi茅n ella misma el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos 谩reas mediales.

Proposici贸n 71

Si se suman un 谩rea expresable y una medial resultan cuatro tipos de rectas no expresables: o una binomial o una primera bimedial o una mayor o el lado del cuadrado equivalente a un 谩rea medial m谩s una expresable.

Proposici贸n 72

Si se suman dos 谩reas mediales inconmensurables entre s铆 resultan los dos restantes tipos de rectas no expresables que quedan: o la segunda bimedial o el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos 谩reas mediales.

Proposici贸n 73

Si se quita de una recta expresable otra recta expresable que sea conmensurable s贸lo en cuadrado con la recta entera, la recta que queda no es expresable; se llama ap贸toma.

Proposici贸n 74

Si de una recta medial se quita otra recta medial que sea conmensurable s贸lo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rect谩ngulo expresable, la recta que queda no es expresable; se llama primera ap贸toma de una medial.

Proposici贸n 75

Si de una recta medial se quita otra recta medial que sea conmensurable s贸lo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rect谩ngulo medial, la recta que queda no es expresable; se llama segunda ap贸toma de una medial.

Proposici贸n 76

Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y haga con la recta entera la suma de sus cuadrados expresable y el rect谩ngulo comprendido por ellas medial, la recta que queda no es expresable; se llama menor.

Proposici贸n 77

Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial, pero el doble del rect谩ngulo comprendido por ellas expresable, la recta que queda no es expresable; se llama la que hace con un 谩rea expresable un 谩rea entera medial.

Proposici贸n 78

Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados medial, y el doble del rect谩ngulo comprendido por ellas medial, y adem谩s sus cuadrados inconmensurables con el doble del rect谩ngulo comprendido por ellas, entonces la recta que queda no es expresable; se llama la que hace con un 谩rea medial un 谩rea entera medial.

Proposici贸n 79

A una ap贸toma 煤nicamente se le adjunta una recta expresable que sea conmensurable s贸lo en cuadrado con la recta entera.

Proposici贸n 80

A una primera ap贸toma de una medial 煤nicamente se le adjunta una recta medial que sea conmensurable s贸lo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rect谩ngulo expresable.

Proposici贸n 81

A una segunda ap贸toma de una medial 煤nicamente se le adjunta una recta medial que sea conmensurable s贸lo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rect谩ngulo medial.

Proposici贸n 82

A una recta menor 煤nicamente se le adjunta una recta que sea inconmensurable s贸lo en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados expresable y el doble del rect谩ngulo comprendido por ellas medial.

Proposici贸n 83

A una recta que hace con un 谩rea expresable un 谩rea entera medial 煤nicamente se le adjunta una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial yi el doble del rect谩ngulo comprendido por ellas expresable.

Proposici贸n 84

A la recta que fa amb una 艜rea medial una 艜rea sencera medial se li adjunta 煤nicament una recta que sigui incommensurable en cuadrado amb la recta sencera i que faci amb la recta sencera, la suma dels seus quadrats medial i el doble del rectangle compr膷s per elles tamb茅 medial i a m茅s a m茅s incommensurable amb la suma dels seus quadrats.

Proposici贸n 85

Hallar la primera ap贸toma.

Proposici贸n 86

Hallar la segunda ap贸toma.

Proposici贸n 87

Hallar la tercera ap贸toma.

Proposici贸n 88

Hallar la cuarta ap贸toma.

Proposici贸n 89

Hallar la quinta ap贸toma.

Proposici贸n 90

Hallar la sexta ap贸toma.

Proposici贸n 91

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una primera ap贸toma, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es una recta ap贸toma.

Proposici贸n 92

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una segunda ap贸toma, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es una primera ap贸toma de una medial.

Proposici贸n 93

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una tercera ap贸toma, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es una segunda ap贸toma de una medial.

Proposici贸n 94

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una cuarta ap贸toma, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es una recta menor.

Proposici贸n 95

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una quinta ap贸toma, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es la recta que hace con un 谩rea expresable un 谩rea entera medial.

Proposici贸n 96

Si un 谩rea est谩 comprendida por una recta expresable y una sexta ap贸toma, el lado del cuadrado equivalente al 谩rea es la recta que hace con un 谩rea medial un 谩rea entera medial.

Proposici贸n 97

El cuadrado de una ap贸toma aplicado a una recta expresable produce como anchura una primera ap贸toma.

Proposici贸n 98

El cuadrado de una primera ap贸toma de una medial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una segunda ap贸toma.

Proposici贸n 99

El cuadrado de una segunda ap贸toma de una medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una tercera ap贸toma.

Proposici贸n 100

El cuadrado de una recta menor aplicado a una recta expresable produce como anchura una cuarta ap贸toma.

Proposici贸n 101

El cuadrado de la recta que hace con un 谩rea expresable un 谩rea entera medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una quinta ap贸toma.

Proposici贸n 102

El cuadrado de la recta que hace con una 谩rea medial un 谩rea entera medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una sexta ap贸toma.

Proposici贸n 103

Una recta conmensurable en longitud con una ap贸toma es ap贸toma y del mismo orden.

Proposici贸n 104

Una recta conmensurable con una ap贸toma de una medial es ap贸toma de una medial y del mismo orden.

Proposici贸n 105

Una recta conmensurable con una recta menor es menor.