Libro X
Clasificación de los inconmensurables
Este volumen contiene y trata los números irracionales, es decir, de los segmentos que son inconmensurables respecto al segmento rectilíneo dado. Considerado el Libro X como un volumen complejo tanto por problemas de traducción como de interpretación. Consta de 16 definiciones repartidas en 3 grupos y 115 proposiciones. Se cree que gran parte de este volumen corresponde al trabajo de Theaetetus y que Euclides completó, ordenó y acabó.
Definiciones
Definición 1
Se llaman magnitudes conmensurables aquellas que se miden con la misma medida, y inconmensurables aquellas de las que no es posible hallar una medida común.
Definición 2
Las líneas rectas son conmensurables en cuadrado cuando sus cuadrados se miden con la misma área, e inconmensurables cuando no es posible que sus cuadrados tengan un área como medida común.
Definición 3
Dadas estas premisas, se demuestra que hay un número infinito de rectas respectivamente conmensurables y inconmensurables, unas sólo en longitud y otras también en cuadrado con una recta determinada. Se llama entonces racionalmente expresable la recta determinada; y las conmensurables con ella, bien en longitud y en cuadrado, bien sólo en cuadrado, racionalmente expresables y las inconmensurables con ella se llaman no racionalmente expresables.
Definición 4
Y el cuadrado de la recta determinada se llama racionalmente expresable, y los cuadrados conmensurables con éste racionalmente expresables; pero los inconmensurables con él se llaman no racionalmente expresables; y las rectas que los producen se llaman no racionalmente expresables, a saber, si fueran cuadrados, los propios lados y si fueran otras figuras rectilíneas, aquellas rectas que construyan cuadrados iguales a ellos.
Definición 5
Dada una recta expresable y otra de binomial dividida en sus términos, de manera que el cuadrado del término mayor sea mayor que el cuadrado del término menor en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con el mayor; si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama primera binomial.
Definición 6
Y si el término menor es conmensurable en longitud con la recta expresable, la recta entera se llama segunda binomial.
Definición 7
Pero si ninguno de los términos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama tercera binomial.
Definición 8
Si el cuadrado del término mayor es a su vez, mayor que el del menor en el cuadrado de una recta inconmensurable en longitud con el mayor, entonces, si el término mayor es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta entera se llama cuarta binomial.
Definición 9
Pero si lo es el menor, quinta binomial.
Definición 10
Y si ninguno de los dos, sexta binomial.
Definición 11
Dada una recta expresable y apótoma, si el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la recta adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable en longitud con la recta entera, y la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la recta apótoma se llama primera apótoma.
Definición 12
Y si la recta adjunta es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta se llama segunda apótoma.
Definición 13
Y si ninguna de las dos es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, y el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta conmensurable con ella, la recta apótoma se llama tercera apótoma.
Definición 14
Si, a su vez, el cuadrado de la recta entera es mayor que el de la adjunta en el cuadrado de una recta inconmensurable con la recta entera, entonces, si la recta entera es conmensurable en longitud con la recta expresable dada, la apótoma se llama cuarta apótoma.
Definición 15
Pero si la adjunta es conmensurable, se llama quinta apótoma.
Definición 16
Y si ninguna de las dos es conmensurable, se llama sexta apótoma.
Proposiciones
Proposición 1
Dadas dos magnitudes desiguales, si se quita de la mayor una magnitud mayor que la su mitad y, de la que queda, una magnitud mayor que su mitad y así sucesivamente, quedará una magnitud que será menor que la magnitud menor donada.
Proposición 2
Si al restar continua y sucesivamente la menor de la mayor de dos magnitudes desiguales, la que queda nunca mide a la anterior, las magnitudes serán inconmensurables.
Proposición 3
Dadas dos magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.
Proposición 4
Dadas tres magnitudes conmensurables, hallar su medida común máxima.
Proposición 5
Las magnitudes conmensurables guardan entre sí la misma razón que un número guarda con un número.
Proposición 6
Si dos magnitudes guardan entre sí la razón que un número guarda con un número, las magnitudes serán conmensurables.
Proposición 48
Hallar una recta primera binomial.
Proposición 49
Hallar una recta segunda binomial.
Proposición 50
Hallar una recta tercera binomial.
Proposición 51
Hallar una recta cuarta binomial.
Proposición 52
Hallar una recta quinta binomial.
Proposición 53
Hallar una recta sexta binomial.
Proposición 54
Si un área está comprendida por una recta expresable y una primera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada binomial.
Proposición 55
Si un área está comprendida por una recta expresable y una segunda binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada primera binomial.
Proposición 56
Si un área está comprendida por una recta expresable y una tercera binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada segunda binomial.
Proposición 57
Si un área está comprendida por una recta expresable y una cuarta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada mayor.
Proposición 58
Si un área está comprendida por una recta expresable y una quinta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada lado del cuadrado equivalente a un área expresable más un área medial.
Proposición 59
Si un área está comprendida por una recta expresable y una sexta binomial, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta no expresable llamada lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Proposición 60
El cuadrado de una binomial aplicado a una recta expresable produce como anchura una primera binomial.
Proposición 61
El cuadrado de una recta primera binomial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una segunda binomial.
Proposición 62
El cuadrado de una recta segunda binomial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una tercera binomial.
Proposición 63
El cuadrado de una recta mayor, aplicado a una recta expresable produce como anchura una cuarta binomial.
Proposición 64
El cuadrado del lado de un área expresable más una medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una quinta binomial.
Proposición 65
El cuadrado del lado de la suma de dos áreas mediales aplicado a una recta expresable produce como anchura una sexta binomial.
Proposición 66
Una recta conmensurable en longitud con una binomial es también binomial y del mismo orden.
Proposición 67
La recta conmensurable en longitud con una bimedial es también bimedial y del mismo orden.
Proposición 68
Una recta conmensurable con una recta mayor es también mayor.
Proposición 69
Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a un área expresable más una medial es ella misma también el lado del cuadrado equivalente a un área expresable más una medial.
Proposición 70
Una recta conmensurable con el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales es también ella misma el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Proposición 71
Si se suman un área expresable y una medial resultan cuatro tipos de rectas no expresables: o una binomial o una primera bimedial o una mayor o el lado del cuadrado equivalente a un área medial más una expresable.
Proposición 72
Si se suman dos áreas mediales inconmensurables entre sí resultan los dos restantes tipos de rectas no expresables que quedan: o la segunda bimedial o el lado del cuadrado equivalente a la suma de dos áreas mediales.
Proposición 73
Si se quita de una recta expresable otra recta expresable que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera, la recta que queda no es expresable; se llama apótoma.
Proposición 74
Si de una recta medial se quita otra recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo expresable, la recta que queda no es expresable; se llama primera apótoma de una medial.
Proposición 75
Si de una recta medial se quita otra recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo medial, la recta que queda no es expresable; se llama segunda apótoma de una medial.
Proposición 76
Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y haga con la recta entera la suma de sus cuadrados expresable y el rectángulo comprendido por ellas medial, la recta que queda no es expresable; se llama menor.
Proposición 77
Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial, pero el doble del rectángulo comprendido por ellas expresable, la recta que queda no es expresable; se llama la que hace con un área expresable un área entera medial.
Proposición 78
Si de una recta se quita otra recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados medial, y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial, y además sus cuadrados inconmensurables con el doble del rectángulo comprendido por ellas, entonces la recta que queda no es expresable; se llama la que hace con un área medial un área entera medial.
Proposición 79
A una apótoma únicamente se le adjunta una recta expresable que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera.
Proposición 80
A una primera apótoma de una medial únicamente se le adjunta una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo expresable.
Proposición 81
A una segunda apótoma de una medial únicamente se le adjunta una recta medial que sea conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que comprenda junto con la recta entera un rectángulo medial.
Proposición 82
A una recta menor únicamente se le adjunta una recta que sea inconmensurable sólo en cuadrado con la recta entera y que haga junto con la recta entera la suma de sus cuadrados expresable y el doble del rectángulo comprendido por ellas medial.
Proposición 83
A una recta que hace con un área expresable un área entera medial únicamente se le adjunta una recta que sea inconmensurable en cuadrado con la recta entera y que haga con la recta entera, la suma de sus cuadrados medial yi el doble del rectángulo comprendido por ellas expresable.
Proposición 84
A la recta que fa amb una ŕrea medial una ŕrea sencera medial se li adjunta únicament una recta que sigui incommensurable en cuadrado amb la recta sencera i que faci amb la recta sencera, la suma dels seus quadrats medial i el doble del rectangle comprčs per elles també medial i a més a més incommensurable amb la suma dels seus quadrats.
Proposición 85
Hallar la primera apótoma.
Proposición 86
Hallar la segunda apótoma.
Proposición 87
Hallar la tercera apótoma.
Proposición 88
Hallar la cuarta apótoma.
Proposición 89
Hallar la quinta apótoma.
Proposición 90
Hallar la sexta apótoma.
Proposición 91
Si un área está comprendida por una recta expresable y una primera apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una recta apótoma.
Proposición 92
Si un área está comprendida por una recta expresable y una segunda apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una primera apótoma de una medial.
Proposición 93
Si un área está comprendida por una recta expresable y una tercera apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una segunda apótoma de una medial.
Proposición 94
Si un área está comprendida por una recta expresable y una cuarta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es una recta menor.
Proposición 95
Si un área está comprendida por una recta expresable y una quinta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta que hace con un área expresable un área entera medial.
Proposición 96
Si un área está comprendida por una recta expresable y una sexta apótoma, el lado del cuadrado equivalente al área es la recta que hace con un área medial un área entera medial.
Proposición 97
El cuadrado de una apótoma aplicado a una recta expresable produce como anchura una primera apótoma.
Proposición 98
El cuadrado de una primera apótoma de una medial, aplicado a una recta expresable produce como anchura una segunda apótoma.
Proposición 99
El cuadrado de una segunda apótoma de una medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una tercera apótoma.
Proposición 100
El cuadrado de una recta menor aplicado a una recta expresable produce como anchura una cuarta apótoma.
Proposición 101
El cuadrado de la recta que hace con un área expresable un área entera medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una quinta apótoma.
Proposición 102
El cuadrado de la recta que hace con una área medial un área entera medial aplicado a una recta expresable produce como anchura una sexta apótoma.
Proposición 103
Una recta conmensurable en longitud con una apótoma es apótoma y del mismo orden.
Proposición 104
Una recta conmensurable con una apótoma de una medial es apótoma de una medial y del mismo orden.
Proposición 105
Una recta conmensurable con una recta menor es menor.
