El volumen de una esfera es la cantidad de espacio que encierra. Un balón de fútbol es un ejemplo de objeto esférico común. Su volumen es la cantidad de aire que puede contener.
Fórmula para el volumen de una esfera
El volumen, V, de una esfera con radio r es
La fórmula para el volumen de una esfera se puede derivar usando la fórmula para el área de superficie de una esfera, que es 4πr 2 , usando un método que aproxima el área de superficie de una esfera usando cuadrados pirámides .
Sea el interior de una esfera de radio r compuesto por n pirámides cuadradas, cada una con una altura de r y una base con un área de A. El vértice de cada pirámide está en el centro de la esfera, como se muestra a continuación .
El volumen de una pirámide es 
, donde b es el área de la base y h es la altura. En la figura anterior, el volumen de cada pirámide es, por lo tanto, 
. El volumen de la esfera se puede aproximar usando la suma de los volúmenes de n pirámides, como se muestra en la figura, usando la siguiente fórmula:
El área de la superficie de la esfera se puede aproximar usando las bases de las pirámides cuadradas, como nA, donde A es el área de cada base de las pirámides cuadradas utilizadas para aproximar la esfera, y n es el número total de pirámides utilizadas para aproximar la esfera. Dado que la fórmula para el área de la superficie de una esfera es 4πr 2 ,
nA ≈ 4πr 2
Cuanto más pequeñas sean las bases de las pirámides utilizadas para aproximar la esfera, más precisa será la aproximación y mayor será el número de pirámides, n, que necesitaríamos utilizar para aproximar la esfera. Si se pudiera componer un número infinito de pirámides para crear el volumen exacto de la esfera, entonces
nA=4πr 2
Sustituyendo esto en la fórmula de volumen aproximado, podemos encontrar el volumen de una esfera en términos de π:
Ejemplo:
¿Cuál es el diámetro de una esfera que tiene un volumen de 288π?
216=r 3
r=6
Dado que el diámetro de una esfera es el doble de la longitud de su radio, el diámetro de la esfera es 12.
Volumen de un hemisferio
En geometría, un hemisferio se crea mediante un plano que cruza una esfera a través de su centro.
En la figura de arriba, el plano P interseca la esfera O a través de su centro, creando dos hemisferios de igual tamaño. Dado que un hemisferio es la mitad de una esfera, el volumen de un hemisferio es:
donde r es el radio del hemisferio.
¿Sabías que?
De todas las formas 3D, una esfera tiene el área de superficie más pequeña para un volumen dado. La relación entre el área de la superficie y el volumen de una forma 3D es un factor importante para determinar qué tan efectivas serán las reacciones químicas y biológicas.
