Una puntuación Z (también conocida como puntuación estándar) indica th El número de desviaciones estándar que tiene un valor observado de la media en una distribución normal estándar. Por ejemplo, una puntuación Z de 1 indica que el valor observado es una desviación estándar de la media. Un valor puede estar por encima, por debajo o igual a la media, indicada por el signo de la puntuación Z:
- Una puntuación Z positiva indica que el valor está por encima (a la derecha) de la media.
- Una puntuación Z negativa indica que el valor está por debajo (a la izquierda) de la media.
- Una puntuación Z de 0 indica que el valor es igual a la media.
Cómo calcular una puntuación Z
Hay algunas fórmulas diferentes para calcular una puntuación Z. Dado que se conocen la media y la desviación estándar de la población, se puede calcular una puntuación Z utilizando la siguiente fórmula
donde μ es la media, σ es la desviación estándar y x es el valor observado.
En los casos en los que no se conocen la media y la desviación estándar de la población, se pueden estimar mediante una media muestral y una desviación estándar. La fórmula para calcular la puntuación Z sigue siendo la misma, con la excepción de que los parámetros de población se reemplazan con sus correspondientes estadísticas de muestra:
donde x es la media de la muestra, s es la desviación estándar de la muestra y x es el valor observado.
Se utiliza otra forma de la fórmula de puntuación Z cuando se calcula la puntuación Z para una distribución de muestreo de medias, en lugar de para un valor único; en tales casos, debe tenerse en cuenta el error estándar. La puntuación Z para una distribución muestral de medias se puede calcular mediante la fórmula
donde x es la media de la muestra, μ es la media de la población, σ es la desviación estándar de la población y n es el tamaño de la muestra.
Ejemplo
Un estudiante en una clase de 210 estudiantes obtiene un puntaje de 65 en un examen en el que el promedio de la clase fue 53 con una desviación estándar de 6. Dado que los puntajes de las pruebas se distribuyen normalmente, calcule el Z- puntuación de la puntuación del estudiante en el examen.
Dado que se conocen la media y la desviación estándar de la población, la puntuación Z se puede calcular de la siguiente manera:
La puntuación del estudiante en el examen corresponde a una puntuación Z de 2. Dado que la puntuación Z es positiva, esto significa que la puntuación del estudiante está 2 desviaciones estándar por encima de la media. Si solo hubiéramos analizado la puntuación bruta del estudiante de 65, podríamos haber concluido que el estudiante no tuvo un buen desempeño en el examen. Sin embargo, el puntaje Z indica que el estudiante realmente se desempeñó bien en el examen en relación con sus compañeros, ya que su puntaje está 2 desviaciones estándar por encima de la media. Es por esta razón que muchos exámenes se califican en una curva, teniendo en cuenta la distribución de puntajes. La siguiente figura muestra la distribución normalizada de los puntajes de las pruebas, así como la posición del puntaje Z del estudiante dentro de la distribución:
Como es característico de los datos distribuidos normalmente, cuanto más lejos se encuentra un valor observado de la media, es menos probable que ocurra. Con base en el gráfico, podemos confirmar nuevamente que la puntuación del estudiante de 65 fue significativamente mejor que el resto de su clase. Usando tablas Z, es posible determinar el percentil en el que se encuentra una puntuación.
Aplicaciones de puntuaciones Z
El ejemplo anterior muestra que podemos discernir información sobre los datos observados en función de la posición de una puntuación Z en una distribución normal estándar. Los puntajes Z también se pueden usar junto con tablas Z para determinar el porcentaje de puntajes por encima o por debajo de un puntaje Z dado y la probabilidad de que un resultado se encuentre en un intervalo dado. Las puntuaciones Z también se utilizan como parte de las pruebas Z para probar si un resultado observado es estadísticamente significativo.
Prueba Z
Una prueba Z es un tipo de prueba de hipótesis estadística que se utiliza cuando la prueba La estadística muestra una distribución normal y se conoce la desviación estándar de la población. Se utiliza para determinar si existe una diferencia significativa entre una media observada y la media bajo la hipótesis nula, H 0 . El proceso implica formular una hipótesis nula y una hipótesis alternativa, seleccionar un nivel de significancia y calcular una puntuación Z para el valor observado. Una vez que se calcula la puntuación Z, se puede utilizar para sacar conclusiones sobre la importancia estadística de un experimento utilizando el método del valor p o el método del valor crítico:
- Valor p: el puntaje Z se usa junto con las tablas Z para calcular un valor p, que indica la probabilidad de obtener resultados de prueba que son al menos tan extremos como los resultados observados bajo el supuesto de que el valor nulo la hipótesis es cierta. Para usar un valor p para sacar conclusiones sobre una estadística de prueba, se compara con el nivel de significancia, α (típicamente 0.01, 0.05 o 0.10). Si el valor p es menor que α, la hipótesis nula se rechaza a favor de la hipótesis alternativa.
- Valor crítico: los valores críticos para el nivel de significancia dado se pueden determinar usando una tabla Z. Los valores críticos son los límites de las regiones críticas. Si la puntuación Z del valor observado se encuentra dentro de una región crítica, la hipótesis nula se rechaza a favor de la hipótesis alternativa.
Tablas Z
Las tablas Z son tablas que proporcionan la probabilidad de que una estadística observada se encuentre por encima, por debajo o entre los valores de una distribución normal estándar (o distribución Z). . Son útiles porque cualquier distribución normal se puede convertir en una distribución normal estándar, y dado que el teorema del límite central establece que muchas estadísticas de prueba tienen distribuciones normales dado que el muestra es lo suficientemente grande, las tablas Z son ampliamente aplicables. Por esta razón, se han construido una variedad de tablas Z para que las probabilidades de varios estadísticos de prueba se puedan determinar fácilmente sin tener que integrar la función de densidad de probabilidad de una distribución normal cada vez. La siguiente figura muestra un acumulado de la tabla Z media:
Ejemplo
Haciendo referencia al ejemplo anterior,
- use una tabla Z para determinar el porcentaje de estudiantes que obtuvieron calificaciones por encima y por debajo de 65 en el examen.
- ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante que tomó el examen luego obtenga entre 55 y 65, dado el mismo examen y condiciones?
i. En el ejemplo anterior, determinamos que una puntuación de 65 corresponde a una puntuación Z de 2. Haciendo referencia al acumulado de la tabla Z media, una puntuación Z de 2 corresponde a una probabilidad de 0,47725. Ésta es la probabilidad de que un puntaje se encuentre entre la media y un puntaje Z de 2. Sin embargo, también se debe sumar la probabilidad de puntajes por debajo de la media. Dado que el 50% de las puntuaciones se encuentran por debajo de la media y el 50% de las puntuaciones están por encima de la media, la probabilidad de que una puntuación esté por debajo de una puntuación Z de 2 es
P (Z & lt; 2)=0.50 + 0.47725=0.97725
y la probabilidad de una puntuación superior es:
P (Z & gt; 2)=1 – P (Z & lt; 2)=1 – 0,97725=0,02275
Por lo tanto, hay aproximadamente un 97,7% de posibilidades de obtener una puntuación por debajo de 65 y un 2,3% de posibilidades de obtener una puntuación por encima de 65. La siguiente figura muestra el área bajo la distribución normal estándar representada por P (Z & lt; 2):
ii. La probabilidad de obtener un puntaje entre 55 y 65 viene dada por el área bajo la distribución normal estándar entre sus respectivos puntajes Z. Primero, convierta ambas puntuaciones en puntuaciones Z:
Haciendo referencia a la tabla Z, una puntuación Z de 0,33 corresponde a una probabilidad de 0,1293. Una puntuación Z de 2 corresponde a una probabilidad de 0,47725. El área entre los dos se puede encontrar como su diferencia:
0.47725 – 0.1293=0.34795
Por lo tanto, hay aproximadamente un 35% de posibilidades de que el alumno obtenga una puntuación de entre 55 y 65 en el examen.
