Una elipse es una figura en 2D en forma de óvalo. Por lo general, lo consideramos como un círculo «aplanado» o «estirado». La siguiente figura muestra dos puntos suspensivos.
Un plano que corta un cono o cilindro en ciertos ángulos puede crear una intersección en forma de elipse, como se muestra en rojo en las figuras siguientes.
Definición de una elipse
Matemáticamente, una elipse es una curva cerrada 2D donde la suma de las distancias entre cualquier punto de ella y dos puntos fijos, llamados puntos de enfoque (focos para plural) es la misma.
Dos puntos, A y B, están en la elipse que se muestra arriba. Los puntos de enfoque de la elipse están en F 1 y F 2 . La suma de las distancias de A a los puntos de enfoque es d 1 + d 2 y la suma de las distancias de B a los puntos de enfoque es d 3 + d 4 .
Dado que A y B están en la elipse, d 1 + d 2 =d 3 + d 4 . Esto es cierto para cualquier punto de la elipse.
Ejes de una elipse
El punto medio, C, del segmento de línea que une los focos es el centro de la elipse. La cuerda a través de los focos es el eje mayor de la elipse, y la cuerda perpendicular a ella a través del centro es el eje menor. Los puntos finales del eje mayor se denominan vértices. El eje mayor y el eje menor se bisecan perpendicularmente entre sí.
Los ejes semi-mayor y semi-menor tienen la mitad de la longitud de los ejes mayor y menor, respectivamente. La distancia entre los dos focos sigue esta relación:
c 2 =a 2 – b 2
donde ayb son la longitud de los ejes semi-mayor y semi-menor. La distancia entre el centro y un foco es c (la distancia entre los dos focos es 2c).
Geometría de coordenadas y elipses
En el plano de coordenadas , una elipse se puede expresar con ecuaciones en forma rectangular y paramétrica.
Forma rectangular
En el plano de coordenadas, la forma estándar para la ecuación de una elipse con centro (h, k), eje mayor de longitud 2a y eje menor de longitud 2b, donde a & gt; b, es el siguiente.
| Eje mayor horizontal | Eje mayor vertical |
|---|---|
 |  |
 |  |
Observe que los valores de ayb se cambian cuando el eje mayor es vertical.
Si el centro es el origen, las ecuaciones se simplifican en
;
 | (eje mayor horizontal) | |
 | ; | (eje principal vertical) |
Ejemplo:
Escribe y representa gráficamente la ecuación de una elipse en forma estándar que tiene su centro en (6, 3), tiene un eje mayor horizontal con una longitud de 10 unidades y cuyos focos tienen una distancia de 3 unidades desde el centro.
Dado que se nos dice que la elipse tiene un eje horizontal, usamos .
La longitud del eje mayor es 10, por lo que 
.
Los focos están a 3 unidades del centro, entonces c=3. Usando c 2 =a 2 – b 2 para encontrar b :
| 3 2 =5 2 – b 2 |
| 9=25 – b 2 |
| b 2 =16 |
| b=4 |
Un centro de (6, 3) significa que h=6 y k=3, por lo que la ecuación es,
Forma paramétrica
En forma paramétrica, la ecuación de una elipse con centro (h, k), eje mayor de longitud 2a y eje menor de longitud 2b, donde a & gt; by θ es un ángulo en posición estándar que se puede escribir usando uno de los siguientes conjuntos de ecuaciones paramétricas.
cuando el eje mayor es horizontal
x=h + a · cos (θ), y=k + b · sin (θ)
cuando el eje mayor es vertical
x=h + b · cos (θ), y=k + a · sin (θ)
Cabe señalar que cos (θ) y sin (θ) se pueden intercambiar en cualquier conjunto de ecuaciones paramétricas sin afectar sus resultados.
Excentricidad
La excentricidad, e, de una elipse es la relación entre la distancia desde el centro a un foco (c) y la longitud del semieje mayor (a), o 
. Nos dice qué tan «estirado» está su gráfico. Consulte la figura a continuación para obtener una aclaración.
Cuanto mayor sea la excentricidad, más «estirada» será la gráfica de la elipse. Cuanto menor sea la excentricidad, más circular se verá la elipse. La siguiente figura muestra elipses con diferentes excentricidades.
A medida que los focos se acercan al centro, c se acerca en longitud a cero y la excentricidad se acerca a una relación de cero. Un círculo tiene excentricidad nula o nula.
Área de una elipse
El área, A, de una elipse es π por el producto de las longitudes del eje semi-mayor (a) y semi-menor (b):
A=πab
