Ecuación cuadrática

La forma estándar de una ecuación cuadrática es:

ax 2 + bx + c=0, donde a ≠ 0

En la ecuación, a, byc son constantes y x es una variable. El grado de la ecuación, 2 (el exponente de x), hace que la ecuación sea cuadrática. Las ecuaciones cuadráticas de esta forma se pueden resolver para x para encontrar las raíces de la ecuación, que son los puntos donde la ecuación es igual a 0. Las raíces también se pueden denominar ceros.

Resolver ecuaciones cuadráticas

Hay varios métodos diferentes para resolver una ecuación cuadrática. A continuación se muestran varios de ellos.

Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + c=0

Una ecuación cuadrática sin el término x 1 es relativamente simple de resolver. No necesitamos factorizar o usar la fórmula cuadrática (discutida más adelante). Todo lo que tenemos que hacer es aislar x como lo haríamos al intentar resolver x en cualquier ecuación, luego sacar la raíz cuadrada de una constante.

Ejemplo

Dado x 2 – 4=0, resuelva para x:

x 2 =4

x=± =± 2

Una de las cosas clave que debemos recordar al resolver ecuaciones cuadráticas es que x puede tomar valores tanto positivos como negativos, ya que tanto -2 × -2 como 2 × 2=4. esto también significa que si bot a y c es positivo o negativo, no hay soluciones reales ya que no es posible sacar la raíz cuadrada de un número negativo sin usar números imaginarios.

Uso de factorización

Resolver ecuaciones usando factorización se basa en usar una de las propiedades de 0. Si el producto de dos números o expresiones es 0, entonces al menos una de las expresiones debe ser igual a 0. Esto nos permite separar los factores y establecer ellos son iguales a 0 individualmente para encontrar la (s) solución (es) a la ecuación.

Ejemplos

1. Resuelve 2x 2 – 8x=0:

2x (x – 4)=0

Podemos separar esto y resolver 2x=0 y x – 4=0:

2x=0

x=0

y

x – 4=0

x=4

La ecuación tiene dos soluciones, x=0 y x=4.

2. Resuelve x 2 – 4x + 4=0:

x 2 – 4x + 4=(x – 2) 2 =0

x – 2=± 0

x=2

En este caso, aunque estamos sacando una raíz cuadrada, 0 no es ni positivo ni negativo, por lo que solo hay una solución. Este siempre será el caso en las ecuaciones que se pueden factorizar en la forma (x – c) 2 , por lo que una vez que comience a reconocer estas ecuaciones en su forma expandida, x 2 – 2cx + c 2 , podrá resolverlos con relativa rapidez.

3. Resuelve x 2 – x – 6=0:

x 2 – x – 6=(x – 3) (x + 2)=0

x – 3=0

x=3

y

x + 2=0

x=-2

Las dos soluciones de la ecuación son x=3 y x=-2.

Usando la fórmula cuadrática

Los términos «fórmula cuadrática» y «ecuación cuadrática» a veces se usan indistintamente, pero no deben confundirse. La fórmula cuadrática se refiere específicamente a una fórmula utilizada para resolver ecuaciones cuadráticas:

La fórmula cuadrática se puede considerar como un método de «fuerza bruta» para resolver ecuaciones cuadráticas, ya que se puede usar para resolver cualquier ecuación cuadrática en forma estándar, como todos los ejemplos anteriores. Sin embargo, dependiendo de la ecuación cuadrática específica, a menudo es más sencillo utilizar un método como factoring , completar el cuadrado , o algún otro método cuando sea posible, antes de usar la fórmula cuadrática. Dicho esto, la fórmula cuadrática en sí es relativamente simple de usar siempre que la ecuación esté en forma estándar.

Las a, byc en la fórmula cuadrática son todas constantes y se refieren a los coeficientes de la forma estándar de una ecuación cuadrática:

ax 2 + bx + c

Resolver una ecuación cuadrática usando la fórmula cuadrática solo requiere que conectemos los coeficientes de la ecuación en la fórmula.

Ejemplo

Resuelve 7x 2 – 13x + 6=0:

En la ecuación anterior, a=7, b=-13 y c=6. Reemplazando estos en la fórmula cuadrática:

x=y x=

Aunque la fórmula cuadrática es tediosa, es muy poderosa porque nos permite resolver cualquier ecuación cuadrática siempre que la pongamos en forma estándar.

En la fórmula cuadrática, la expresión debajo del signo de la raíz cuadrada, b 2 – 4ac, se conoce como discriminante. Vale la pena señalar que si:

b 2 – 4ac=0, solo hay una solución

b 2 – 4ac & gt; 0, hay dos soluciones reales

b 2 – 4ac & lt; 0, no hay soluciones reales

Otro método para resolver ecuaciones cuadráticas es completar el cuadrado .