Bisectriz

Una bisectriz de ángulo es un segmento de línea , ray o línea que divide un ángulo en dos congruentes adyacentes ángulos.

El segmento de línea OC biseca el ángulo AOB de arriba. Entonces, ∠AOC=∠BOC lo que significa que ∠AOC y ∠BOC son ángulos congruentes.

Ejemplo:

En el diagrama siguiente, TV biseca ∠UTS. Dado que ∠STV=60 °, podemos encontrar ∠UTS.

Dado que TV divide ∠UTS, ∠UTV=∠STV y ∠UTS=∠UTV + ∠STV, entonces ∠UTS=60 ° + 60 °=120 °.

Bisecar un ángulo con brújula y regla

En geometría, es posible bisecar un ángulo usando solo un compás y una regla. Para hacerlo, siga los siguientes pasos:

1. Coloque la punta de la brújula en el vértice, O, y dibuje un arco de un círculo tal que el arco intersecte ambos lados del ángulo en los puntos D y E, como se muestra en la figura anterior.
2. Dibuja dos arcos separados de igual radio usando los puntos D y E como centros. Asegúrese de que el radio sea lo suficientemente largo para que los arcos de los dos círculos puedan cruzarse en el punto F.
3. Use una regla para dibujar un rayo recto de O a F. OF biseca el ángulo AOB.

Cosas que debe saber sobre una bisectriz de ángulo

Si un punto se encuentra en cualquier parte de la bisectriz de un ángulo, es equidistante de los 2 lados del ángulo bisecado; esto se denominará teorema de equidistancia de las bisectrices de ángulo, o teorema de equidistancia, para abreviar.

En la figura anterior, el punto D se encuentra en la bisectriz BD del ángulo ABC. La distancia desde el punto D a los 2 lados que forman el ángulo ABC son iguales. Entonces, DC y DA tienen medidas iguales.

Por el contrario, si un punto en una línea o rayo que divide un ángulo es equidistante de los lados del ángulo, la línea o rayo debe ser una bisectriz del ángulo para el ángulo.

Basado en el teorema de la equidistancia, se puede ver que cuando los dos lados que forman un ángulo son tangentes a un círculo, el segmento de línea o rayo formado por el vértice del ángulo y el centro del círculo es la bisectriz del ángulo.

En el diagrama anterior, los dos lados del ángulo son tangentes al círculo y DC y DA son los distancias desde el centro del círculo a los lados. DC y DA también son los radios del círculo. Dado que todos los radios de un círculo tienen la misma medida, la línea BD biseca el ángulo.

Teorema de la bisectriz del ángulo

Para un triángulo, como el del diagrama a continuación, si la bisectriz del ángulo A interseca el lado BC en el punto D, la razón de las longitudes de AB a AC es igual a la relación entre la longitud BD y DC . Esto se puede escribir como: .

El punto en el que las tres bisectrices interiores se cruzan se conoce como el incentro del triángulo. Haciendo referencia al diagrama a continuación, los tres rayos bisectantes se cruzan en el punto D. El punto D es el incentro del triángulo y es un punto que es equidistante de los tres lados del triángulo.