Luis Santaló
Girona, 9/10/1911- Buenos Aires, 22/11/2001
Resumen de un artículo de Luis Santaló.
Matemático de prestigio internacional.
REVISTA «Física, Ciencia y Microcomputación». Otoño de 1989.
Guillermo Roit
La física tiene por objeto el conocimiento del mundo exterior, vale decir, la comprensión de las leyes que rigen la naturaleza y sus fenómenos. La Geometría, como parte de la Matemática, pertenece mas al mundo de las ideas y puede crearse, ella misma, los objetos que luego va a estudiar. Sin embargo, sobre todo en sus comienzos, la Geometría tomó estos objetos a imagen y semejanza de los que se veían y observaban en la Naturaleza: por ello fue una ciencia «visual» y como tal, la parte más intuitiva de la Matemática. Geometría y Fíisica crecieron observando la Naturaleza, prestando la primera más atención a la «forma» de los objetos y la segunda a su movimiento, pero como todo movimiento supone una trayectoria, una y otra ciencia estuvieron siempre imbricadas en una inseparable hermandad. Esto hizo que los grandes cambios en la historia de la Física fueran siempre acompañados, a veces con adelanto, a veces con retraso, pero siempre con una notoria influencia reciproca, con los grandes cambios en la historia de la Geometría. La Física antigua, que culmina en la Filosofía de Aristóteles (384-322 a.C.), la Ingenieria de Arquímedes (287-212 a.C.) y la Astronomía de Claudius Ptolomeo (178-100 a.C.) se desarollaron al compás de la Geometría Métrica de Tales de Mileto (585 a.C.) y Pitágoras (532 a.C.) y de la Axiomática de Euclides (siglo III a.C.). La gran revolución del Renacimiento, con la aparición de la «Nueva Ciencia» de Galileo (1564 – 1642) y la Mecánica de Newton (1643 – 1727), origen de toda la Física de los siglos XVIII y XIX, va acompañada de la Geometría Analítica de Descartes (1596 – 1650) y Fermat (1601-1665). Ya en nuestro siglo, las creaciones de la Física Relativista de Einstein (1879 – 1955) en las decadas primera y segunda y de la Mecánica Cuántica en los años 1925/30, están íntimamente relacionadas con la Geometría de los Espacios Multidimencionales de Riemann (1826 – 1866) y con la Geometría de los espacios de Hilbert (1862-1943). Naturalmente que en esta marcha incesante, con bruscas discontinuidades ascendentes, no solamente progresaron juntas Física y Matemática, sino que el trasfondo filosófico o epistemológico que siempre acompaña toda creación científica, sufrió graves cambios, que fueron a veces efecto y a veces causa de dichas revoluciones.
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06/28/89 23:52:15
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (II)
LA GEOMETRIA Y LA FISICA GRIEGAS
Aunque la geometría nace de la observación, su metodo de trabajo, basado en el razonamiento deductivo, la condujo bien pronto a descubrimientos basicos de imposible comprobación experimental y sin embargo fundamentales para todo su desarrollo futuro. Asi, los pitagoricos (VI a.C.) vieron derrumbarse su teoria de que «todo es numero» al descubrir los irracionales. La inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado de lado unidad, probo la existencia de magnitudes no medibles con partes alicuotas de una misma unidad, apareciendo los numeros irracionales, base de toda la Matemática futura. Estos numeros irracionales, sin embargo, son fruto exclusivo del razonamiento, pues cualquier observación experimental puede expresarse con solo los numeros racionales con toda la aproximación que se desee. Esta imposibilidad de comprobar experimentalmente ciertos resultados geometricos hicieron que la Geometría se desligara de la observación, por lo menos de la observación precisa y delicada, iniciando su carrera de «arte de obtener resultados ciertos, razonando sobre figuras mal hechas». Se estudiaba sobre figuras trazadas en la arena, sin que interesara demasiado la precisión material, que era supliderial, que era suplida por la exactitud perfecta del razonamiento logico. Por ese camino los resultados fueron sorprendentes. Los Elementos de Euclides constituyeron la base de todos los estudios matematicos durante siglos. El tratado de las cónicas de Apolonio (II a.C.) contiene resultados no superados hasta el siglo XVII con Desargues (1539-1661) y Pascal (1623 – 1662) o por la posterior Geometría Analitica de Descartes y Fermat.
La Física quiso seguir los mismos pasos, pero olvido que ella, por su misma definición, es una ciencia sujeta esencialmente a la comprobación experimental y las especulaciones filosóficas, por correctas que parezcan, si no conducen a resultados acordes con la experiencia, no son aceptables. Al desvincular la Física de la experiencia en una etapa todavía temprana de su desarrollo, los griegos entraron en un terreno de especulaciones epistemológicas que retrasaron mucho su progreso. La posición de encerrarse en el mundo de las ideas, alejandose del mundo exterior, dio excelentes resultados para la Geometría, pero fue perjudicial para la Física.
En el mundo de las ideas se pueden crear Geometrías diversas, acordes o no con la del mundo fisico, que pueden ser incluso de gran valor dentro de la Matemática (Geometrías no euclidianas, Geometrías finianas, Geometrías finitas, Geometrías sobre un cuerpo general). En Física, en cambio, tendria poco sentido crear una Física independiente de la realidad exterior. Una Física, por ejemplo, en que no valiera la ley de inercia o no existiera la gravedad, aunque fuera construida sin incorrecciones logicas y formara un cuerpo de doctrina coherente y completo, carecería de valor, por lo menos dentro de lo que actualmente se considera ciencia natural.
Para Aristóteles y en general para todos sus predecesores y continuadores hasta el Renacimiento, lo importante no era estudiar las leyes del movimiento y sus trayectorias, sino las «causas» del movimiento y el «por que» de una determinada trayectoria. Se interesaron mas sobre el «por que» que sobre el «como». No hay duda de que las causas finales son importantes, pero su comprensión depende del conjunto de conocimientos de que se dispone. No es lo mismo contestar el por que de la trayectoria de un proyectil cuando se conoce la mecanica de Newton, que contestar a ello en la epoca griega en que solo se disponia de una Geometría muy perfecta, pero estatica, y de una intuición visual. Es imposible predecir si «midiendo» ademas de «razonando», los griegos hubieran llegado mas lejos. El hecho es que observando poco y meditando mucho, a pesar de su incomparable finura para ello, llegaron solo a especulaciones muy convincentes en cuanto a filosofia, y por esto perduraron, pero ajenas a la realidad física.
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06/28/89 23:54:50
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (III)
EL MOVIMIENTO EN LA FISICA DE ARISTOTELES
Para Aristoteles los movimientos son de dos clases: rectilineos, cuyo modelo es el peso que cae o el fuego que asciende, y circulares, como los astros. Esto corresponde a la idea intuitiva de que un movimiento sobre el que no actua una causa, debera seguir una trayectoria que sea igual a si misma en todos sus puntos. En terminos modernos, diriamos que debe ser una curva de curvatura y torsión constantes y, por tanto, si es cerrada debe ser una circunferencia y si es abierta una recta o una helice. A Aristoteles le escapa la posibilidad de helice, tal vez por considerar unicamente trayectorias planas, pero acierta en cuanto a las trayectorias cerradas, como son las aparentes de los cuerpos celestes.
El movimiento circular, dice, El movimiento circular, dice, es el unico que es «simple y completo», pues si un movimiento rectilineo tiene una dirección simple, por ejemplo hacia abajo, no es completo, ya que excluye el movimiento en dirección inversa y si es completo no es simple, ya que el movil debe seguir sucesivamente direcciones diferentes. En el movimiento circular, en cambio, su punto inicial es tambien el punto final, o sea cada punto de su recorrido puede considerarse, a voluntad, como principio, medio o fin. Es el unico movimiento que en cada momento da todo lo que puede ser: es un movimiento perfecto y eterno. Estas consideraciones de Aristoteles sobre el movimiento circular eran tan claras y evidentes, que no cabia imaginar que las trayectorias de los astros (trayectorias aparentes) fueran otra cosa que circunferencias o composición de ellas. No habia ninguna razon para que el espacio no fuera homogeneo y por tanto que las trayectorias cambiaran de forma de un momento a otro. De aqui que los astronomos, exponente de los cuales fue Claudius Ptolomeo en el siglo II anterior a nuestra era, en ningun momento pensaron que las trayectorias de los planetas pudieran ser otra cosa que circunferencias o curvas formadas componiendo circulares. Es por ello que tuvieron que inventar un complejo mecanismo de epiciclos, deferentes, ecuantes y excentricas. Hubo que esperar a Kepler (1571-1630) para introducir las elipses, a pesar de ser estas curvas de sobra conocidas desde Apolonio, unos 200 años antes de nuestra era.
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06/28/89 23:57:54
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (IV)
EL PRINCIPIO DE RAZON SUFICIENTE
El apego a la recta y a la circunferencia como unicas trayectorias naturales, es consecuencia del elemental principio de razon suficiente: «Solo ocurren las cosas para las cuales hay un motivo, causa o razon». ?Por que razon un movimiento cerrado va a estar deformado, como en las elipses, en una dirección mas que en otra? Por esto, incluso Galileo, despues de Kepler, sigue creyendo en las trayectorias circulares de los planetas. El peligro de este principio, tan querido a la intuición, fue señalado satiricamente por Cyrano de Bergerac (1619-1655) en su «Historia comica de los estados e imperios del sol» al contar: «…cuando para ayudarlos acudi a zarpar el ancora, quede muy asombrado al ver que en lugar de un gran cable solo tenian para sostenerla un hilo de seda mas ligero que un cabello. Yo pregunte a Campanello. Yo pregunte a Campanella como podria explicarse que una masa tan pesada como la del ancora no rompiese con su carga un hilo tan fragil, a lo cual el buen hombre me contesto que esta cuerda no se rompia porque como toda ella estaba hilada muy igual, no habia razon ninguna para que se rompiese mas bien por un sitio que por otro.». En resumen, podemos decir que la Geometría griega obtuvo excelentes resultados tomando las formas de la Naturaleza y elaborandolas luego con el razonamiento logico, hasta construir estructuras matemáticas perdurables. La Física partio tambien de los fenómenos naturales, observandolos con la aproximación proporcionada por los sentidos y sometiendo luego estas observaciones primarias a las sutilezas logicas y filosoficas en las que eran maestros. Los resultados no fueron tan exitosos como en Geometría, por no adaptarse la realidad, en muchos puntos, a la intuición de primer grado derivada de los sentidos. La ley de inercia, por ejemplo, escapo a los fisicos hasta Galileo y Newton, por no ser una ley directamente intuitiva. Todavia hoy, al publico no educado en Física o Matemática, le cuesta comprender que los satelites artificiales giren indefinidamente alrededor de la Tierra sin ningun motor que los empuje. La contemplación del mundo exterior, del mundo exterior, por lo menos de los objetos directamente a nuestro alcance, muestra que los objetos se paran si cesa el motor que los mueve. La ley de inercia supone una observación mas atenta y meditada, que coordine efectos y causas y sepa prescindir de condiciones secundarias que enmascaran el verdadero fenómeno. En terminos matematicos podriamos decir que la intuición alcanza a las primeras derivadas, pero le escapan a las segundas. De una curva plana, por ejemplo, basta mirar para darse cuenta de si la tangente presenta o no discontinuidades. En cuanto al movimiento la intuición comprende la velocidad (primera derivada), pero le es mas dificil captar la «aceleración» (segunda derivada). Actualmente,con la mayor velocidad de los vehiculos, la aceleración se siente y se ha hecho mas intuitiva.
(CONTINUARA)
Msg: 649 *SCIENCE/RESEARCH*
06/30/89 23:40:47
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (VI)
EL RENACIMIENTO, LA RECTA, LA CIRCUNFERENCIA Y LAS CONICAS
La recta y la circunferencia perdieron rapidamente su predominio en Geometría. En la misma Grecia, se estudiaron con interes otras curvas planas, como la cuadratriz de Hipias (siglo V a.C.) y Dinostrato (siglo IV a.C.)Dinostrato (siglo IV a.C.), la concoide de Nicomedes (entre el siglo II y el I a.C.), la cisoide de Diocles (siglo II a.C.), destinadas a resolver problemas particulares, como la trisección del angulo o la duplicación del cubo. Por otra parte, las conicas, sistematizadas por Apolonio, eran bien conocidas desde el siglo IV a.C. por Meneomo. Puede decirse que la recta y la circunferencia quedaron en la Geometría como curvas distinguidas, unicamente por ser las descriptas por la regla y el compas, los aparatos mas sencillos para el dibujo, naciendo a raiz de ello la preocupación por saber cuales eran los problemas que podian resolverse con estos instrumentos y cuales no lo eran. No ocurrio lo mismo en la Física, que siguio aferrada a la recta y a la circunferencia durante siglos. Todavia en 1554, Nicolo Tartaglia (1499-1557) en sus «Quesiti et Inventioni Diverse», tiene que hacer largos razonamientos para convencer a su interlocutor de que las trayectorias de los proyectiles de las piezas de artilleria no son rectas en ninguna de sus partes, contra la opinion de que primero eran rectas y luego se volvian bruscamente curvas en el momento de la caida. Fue Galileo el que primero establecio, en sus «Discursos y Demostraciones acerca de dos Nuevas Ciencias&qe dos Nuevas Ciencias» (1638), que prescindiendo de la resistencia del aire, tales trayectorias eran parabolas. La creencia en la trayectoria circular de los planetas duro hasta la misma epoca. Copernico (1473-1543) en su obra inmortal «De Revolutionibus orbium Caelestium», aparecida en el mismo año de su muerte, destrona el sistema geocentrico de Ptolomeo, sentando la teoria de que los planetas describen orbitas alrededor del sol (o de un punto muy cercano al mismo), pero esas orbitas para Copernico, siguen siendo circunferencias. Tan solo unos años mas tarde en su «Astronomia Nova» (1609), Kepler expone como, estudiando la orbita de Marte y usando las cuidadosas y numerosas observaciones de Tycho Brahe (1546-1601) ha llegado a establecer su primera y fundamental ley: «Los planetas describen elipses, de las cuales el sol ocupa uno de los focos». Sus restantes dos leyes no son menos revolucionarias en cuanto a la destrucción de la idea de «simplicidad» y «homogeneidad» o «uniformidad» que debian regir los fenómenos naturales eternos. La segunda ley dice: «Los radios vectores del sol a los planetas, decriben areas iguales en tiempos iguales». Seria esta una ley evidente si las tra evidente si las trayectorias fueran circulares, pero siendo elipticas, prueba que la velocidad de los planetas no es uniforme, cosa inconcebible para Aristoteles. La tercera ley es igualmente sorprendente: «Los cuadrados de los tiempos que tardan los planetas en recorrer su orbita, son proporcionales a los cubos de los ejes mayores de las elipses que describen».
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06/30/89 23:43:54
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (VI)
«Simplicidad, perfección y armonia en la Naturaleza». Las tres leyes de Kepler aparecieron como hechos irrefutables, producto de la observación. ¿Cómo explicarlas? Las razones aristotélicas de «simplicidad» y «perfección» que conducían al movimiento circular, parecen fallar por su base y entonces Kepler en su «Mysterium Cosmographicum» (1596) acude a la Geometría, en busca de razones del mismo estilo, pero necesariamente un poco menos simples y tal vez menos perfectas. Como en su epoca se conocian solamente seis planetas (Saturno, Jupiter, Marte, Tierra, Venus y Mercurio) y por tanto habia cinco distancias entre ellos, fue tentadora la idea de buscar la aplicación mediante los cinco poliedros regulares ya conocidos os regulares ya conocidos por Platon. Suponiendo que la esfera que contiene a Saturno estaba circunscripta a un cubo al cual estaba a su vez inscripta la esfera de Jupiter y asi sucesivamente con el tetraedro, dodecaedro, icosaedro y octaedro y las esferas de los sucesivos planetas, logro Kepler obtener bastantes coincidencias entre las distancias reales de las orbitas y ciertas dimensiones de estos poliedros. Sustituye de esta manera la «simplicidad» por la «armonia» que supone debia presidir la arquitectura del Universo («Harmonici Mundi», 1618) y asi, siguiendo a los pitagoricos, vincula las velocidades angulares de los planetas con series armonicas de acordes musicales, justificando las excentricidades de las orbitas como una necesidad para mantener la armonia de los sonidos producido por los movimientos. Es la musica de los planetas, imperceptible al oido, pero accesible a la razon. Parece esto una mezcla de misticismo y magia, pero, sustituyendo esferas, poliedros y musica por ecuaciones diferenciales, autovalores y grupos de invariancia, ?cual es la diferencia con la actual Física Cuantica o Relativista? La necesidad de la «via geometrica» para comprender la Naturaleza fue expuesta claramente por Galileo en «Il Sa Galileo en «Il Saggiatore» (1623): «El libro de la Naturaleza esta escrito en lenguaje matematico, cuyos caracteres son triangulos, circulos y otras figuras geometricas, sin los cuales no es posible entender una sola palabra y se andara siempre como en un oscuro laberinto». Con ello, despues de 20 siglos, Galileo actualiza la advertencia de Platon al frente de su academia: «No entre aqui quien no sepa Geometría».
(CONTINUARA)
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07/08/89 00:04:08
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (VII)
DESCARTES Y NEWTON. LAS ECUACIONES DIFERENCIALES COMO NUEVO MODELO NATURAL.
La idea de que la comprensión del mundo requiere conocimientos matematicos es tan antigua como la matemática misma, pues tal fue en su origen el objetivo de la matemática. Por otra parte, la idea de los pitagoricos de explicar los fenómenos naturales por medio de relaciones numericas o por la armonia en la disposición de sus partes, estuvo siempre latente desde el siglo V antes de nuestra era. El problema esta en saber, para cada hecho natural, cuales son los conocimientos matematicos necesarios. Para los griegos bastaban la recta y la circunferencia. Kepler necesito las conicas y loer necesito las conicas y los poliedros regulares. Galileo habla de triangulos, circulos y otras figuras geometricas. ?Hasta donde se hubiera podido llegar con solo estos elementos? Catorce años despues de «Il Saggiatore», aparece la «Geometría» de Descartes
(1637) como apendice de su famoso «Discours de la Methode», que junto con la obra «Ad locos plano et solidos isagoge» de Fermat, aparecida en 1679, amplian la Geometría tradicional con la Geometría en coordenadas o Geometría analitica. Se tuvo asi una nueva variedad de objetos geometricos para construir modelos de los fenómenos naturales. Al identificar figuras geometricas con ecuaciones, estas pasaban a ser nuevos simbolos para interpretar el libro de la naturaleza al que hacia referencia Galileo. Empezaba una nueva era en que la intuición visual de la Geometría propiamente dicha se ampliaba con la intuición mas abstracta del Algebra. La linea recta conservaba su supremacia en cuanto a simplicidad, puesto que su ecuación, de primer grado, es la mas simple de todas. La circunferencia, en cambio, quedaba en pie de igualdad con las demas conicas, representadas todas por ecuaciones de segundo grado. Con ello fue mas facil comprender las elipses planetarias que tanto desconcertaron a Kepler concertaron a Kepler y a sus contemporaneos. Al parecer, la Naturaleza respondia a una intuición un poco mas elaborada, para la cual no bastaba la Geometría de los griegos, sino que era necesaria la sistematización de las figuras geometricas proporcionada por la Geometría en coordenadas. La idea de simplicidad se mantenia en cierto modo, pues las conicas son las curvas mas simples despues de la recta. Se tuvieron entonces todos los elementos para que, juntando Geometría con procesos de paso al limite, o con especulaciones filosoficas, Newton (1643-1727) y Leibnitz (1646-1716) crearan el calculo diferencial y con el pudiera Newton formular su famosa ley de gravitación que explicaba, con un solo enunciado, las tres leyes de Kepler y otros muchos fenómenos de la mecanica celeste. Los poliedros regulares y las armonias musicales de Kepler cayeron de golpe ante una nueva intuición, la de una formula matemática que expresaba una fuerza directamente proporcional a las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
Msg: 691 *SCIENCE/RESEARCH*
07/08/89 00:06:45
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (VIII)
Conviene hacer algunas observaciones sobre este hecho importante de explicar la gravitación por una fórmula matemática.
* Desde los griegos, el problema basico de la Física era explicar el por que de los fenómenos observados. Kepler quiere explicar el por que los planetas son 6 y no menos o mas. despues se decubrieron nuevos planetas, pero la pregunta clasica, a lo griego, seguiria siempre en pie: ?por que tal numero? Galileo lucha contra este tipo de preguntas, midiendo la ley de caida de los cuerpos y el tiempo de la oscilación del pendulo, sin detenerse ante el centinela de los «por que» que habia impedido posibles desarrollos, pero esta nueva ciencia cuesta de imponerse. Todavia Descartes le reprocha: «todo lo que dice Galileo sobre la caida de los graves en el vacio carece de fundamento: antes que nada deberia haber establecido la naturaleza del peso».
De aqui que Newton, sabedor de que la primera objeción a su teoria seria preguntar la naturaleza de la misteriosa atracción entre los cuerpos y el por que de su intensidad, se adelanta con su «Hypotheses non fingo». El exito obtenido afianzo la idea newtoniana de que el objeto de la Física es investigar las fuerzas a partir del movimiento y a partir de estas fuerzas demostrar nuevos fenómenos. En realidad, ello significa aealidad, ello significa adaptar a la filosofia natural el modelo geometrico de Euclides, sentando axiomas que se aceptan o se rechazan, pero no se discuten, ni se busca el origen o naturaleza, para deducir luego de ellos resultados acordes con la experiencia.
* El exito de Newton y de la matemática de su tiempo para explicar la naturaleza entusiasmo a muchos pensadores, con Leibnitz a la cabeza, que intentaron generalizar el «metodo matematico» a la metafísica y a la moral, transformando el «discutamos» de estas disciplinas en el «calculemos» de la Matemática. Siempre han existido espiritus cuya fe en el poder de la Matemática ha excedido toda razonable ponderación. Tambien hoy se habla de los cerebros electronicos como capaces de resolver todos los problemas de la humanidad. La extrapolación de las posibilidades de la Matemática a cuestiones no medibles conduce a la mistica o a la poesia, pero se aparta de la ciencia, a pesar de haber tenido siempre partidarios a veces ilustres, desde el pitagorico Filolao (siglo V a.C.) hasta el moderno H. Wronski (1778-1853).
Msg: 692 *SCIENCE/RESEARCH*
07/08/89 00:10:09
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (IX)
* El exito del calculo en la mecanica racional afirmo la idea intuitiva del determinismo, segun el cual dadas las condiciones de cualquier sistema en un instante dado (situación de las particulas y fuerzas que sobre ellas actuan) debe ser teoricamente posible calcular el estado del sistema en calquier momento de su evolución futura. Laplace (1749-1827), maximo exponente del determinismo, escribio en las primeras paginas de «Essai Philosofique sur les probabilites»: «Debemos considerar el estado presente del Universo como el efecto de su estado anterior y como la causa del que debe seguirle. Una inteligencia que en un instante dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y la situación respectiva de los seres que la componen y que, ademas, fuera suficientemente grande como para someter estos datos al analisis, abarcaria en la misma formula los movimientos de los cuerpos mas grandes del Universo y de los atomos mas pequeños, nada le seria incierto y tanto el futuro como el pasado estarian presentes ante sus ojos».
Es curioso que precisamente Laplace, el gran determinista, es uno de los creadores del Calculo de Probabilidades, a traves del cual, un siglo despues, el indeterminismo se sometia al calculo y pasaba a ser una de las caracteristicas de la Física contemporanea.
* El exito del calculo infinitesimal en la Física probo que los fenómenos naturales necesitan para ser explicados, algo mas que la intuición elemental, producto se la observación directa. El calculo infinitesimal no es nada intuitivo, nuestros sentidos captan la naturaleza por integración continua de sus elementos. Vemos el movimiento, pero surgen paradojas al querer explicarlo en sus partes elementales, lo mismo que al analizar la materia y discurrir sobre su infinita o no divisibilidad. De aqui las clasicas discusiones entre los griegos, desde Zenon de Elea y Democrito (siglo V a.C.). Por esto fueron naturales las criticas al calculo infinitesimal, entre ellas las mas citadas de Berkeley (1685-1753) satirizando los «fantasmas de cantidades evanescentes» que no son cero, pero luego se anulan, y que no son ni finitas ni infinitamente pequeñas. En realidad la idea de diferencial siempre ha sido obscura a los estudiantes finos, mucho mas que la idea de integral. Tan solo modernamente, al ser algebrizada por Chevallery (Theory of Lie groups, Princeton 1946), aparece matemáticamente clara, pero la definición no responde a la idea que necesita la física de expresar, precisamente, estos fantasmas evanescentes de Beas evanescentes de Berkeley, partes infinitesimas de algo, que son incomprensibles a la intuición (basada en el «esse est percipi», ser es ser percibido), pero que dan excelente resultado al ser tratados mediante reglas adecuadas. Es el primer paso hacia el terreno en el cual, para entender, hay que dejar de lado la intuición y confiar exclusivamente en el razonamiento logico, y ello debido, precisamente, a que nuestros sentidos no llegan a lo infinitamente pequeño. Segun Berkeley «el espacio dado al sentido no es divisible, por encima del cual nada es percibido ni, por tanto, existe nada». Existente o no, este mas alla del tacto y de lavista es lo que Newton y Leibnitz hicieronposible someter al calculo, edificando despues sobre el todas las ciencias exactas de los ultimos tres siglos.
Msg: 738 *SCIENCE/RESEARCH*
07/12/89 23:09:39
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (X)
LA GEOMETRIA DIFERENCIAL
Todo nuevo descubrimiento en un sector de la matemática, repercute enseguida en todo el edificio. La Geometría, con la introducción de las coordenadas, contribuyo eficazmente al desarrollo del calculo infinitesimal y este, a su vez, retribuyo la ayuda prestada, permiti la ayuda prestada, permitiendo la creación de la Geometría Diferencial, que paso a constituir una base fundamental para la Física de los siglos XIX y XX. La representación de puntos por coordenadas y de las curvas y superficiales por ecuaciones, permitio avanzar en la Geometría hasta terrenos ocultos a los sentidos, a los cuales nunca hubiera podido llegar una Geometría visual. A su vez, la union de la Geometría con el Algebra y el Analisis, fue de primordial importancia para la Física. Las leyes de la Naturaleza aparecieron representadas por ecuaciones que vinculaban las coordenadas de espacio X1, X2, X3 con el tiempo t. Estas ecuaciones debian ser intrinsecas al fenómeno y, por tanto, independiente del sistema de coordenadas. La Física planteo asi a la Geometría el problema de hallar ecuaciones que fueran invariantes por cambios de coordenadas. Aunque el camino historico fue mas bien el de hallar una a una las ecuaciones que regian cada fenómeno particular, planteando el problema desde el punto de vista de dicha invariancia, pronto se vio que las ecuaciones posibles no eran muchas. La clasica idea de la «simplicidad» resurgio de nuevo y la experiencia confirmo que las ecuaciones que regian las leyes de la Física eran siempre las mas simples dentroe las mas simples dentro de cierto conjunto de condiciones. Es elemental demostrar, efectivamente, que los unicos operadores que son invariantes por movimientos, cumplen la condición de linealidad y contienen solamente derivadas hasta el segundo orden, son los clasicos operadores gradiente, divergencia, rotor y laplaciano. Esta es la razon por la cual toda las ecuaciones de la Física matemática clasica se fueron obteniendo combinando estos operadores entre si. Los epiciclos, deferentes, ecuantes y excentricas de Ptolomeo, todo ello combinación de circunferencias, pasaron a ser ecuaciones diferenciales obtenidas por combinación de gradiente, divergencia, rotor y laplaciano. Cuando aparecio el calculo tensorial de Ricci (1853 – 1925) y Levi-Civita (1873 – 1941), el hecho recibio plena iluminación.
Msg: 739 *SCIENCE/RESEARCH*
07/12/89 23:13:10
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (XI)
La Geometría Diferencial, Geometría al fin, empezo con el estudio de curvas y superficies del espacio ordinario. Los dos primeros representantes de su estudio fueron Euler (1707-1783) y Gauss (1777-1855). Es interesante observar, para ver lo que costo desligar la Geometría de la intuición visual, que Euler estudiaba las superficies como limite o contorno como limite o contorno de cuerpos solidos (su principal memooria se titula «De superficiebus corporum», 1748), mientras que Gauss en sus celebres «Disquisitiones generales circa superficies curvas» (1828) ya considera, por primera vez, a las superficies «no como limites de un solido, sino como un solido una de cuyas dimensiones se considera como desvanecida». Para ambos, sin embargo, el espacio ambiente es el espacio euclidiano de nuestra intuición espacial, o sea, el espacio de la Geometría clasica. Los fenómenos que estudiaba la Física ocurrian en este espacio y toda la Geometría usada por la Física (trayectorias, superficies de nivel, lineas de corriente) era, por lo tanto, la Geometría euclidiana. A principios del siglo XIX, con Lobatchewsky (1793-1856), Bolyai (1802-1860) y el mismo Gauss, aparecen las Geometrías no-euclidianas. Se dispone, con ellas, de nuevos modelos para interpretar la naturaleza. Desde el punto de vista
matematico y filosofico, el descubrimiento fue trascendental, pues se vio que la Geometría euclidiana basada en nuestra intuición del mundo exterior, no era una verdad a priori, como creia Kant (1724-1804), sino tan solo una entre otras Geometrías posibles. Si la experiencia lo hacia necesario, podia suscia necesario, podia sustituirse la
Geometría euclidiana por otra no-euclidiana, igualmente valida y no contradictoria por sucesivas deducciones logicas. Una vez rotos los prejuicios de una Geometría absoluta inherente al espacio ambiente, las sucesivas generalizaciones no se hicieron esperar. Riemann (1826-1866) en su clasica memoria «Uber die Hypothesen welche der Geometrie zu grunde Liegen» (1854) muestra la posibilidad de espacios multidimensionales de curvatura variable, de los cuales el espacio euclidiano ordinario seria tan solo un caso particular en cuanto a la dimensión (tres) y en cuanto a la curvatura (cero). Con ello, la Geometría ofrecia a la Física un nuevo y extenso campo de posibilidades para elegir modelos con que vestir y estudiar los fenómenos naturales. Estos fenómenos ocurren en el espacio fisico, de tres dimensiones, a traves del tiempo. En consecuencia, para fijar un suceso, se necesitan cuatro coordenadas, a saber: las tres coordenadas de espacio que fijan el lugar, y la coordenada tiempo que fija el instante en que el suceso ocurre. Segun nuestra intuición, la coordenada tiempo es muy distinta de las demas. Si bien queda determinada tambien por un numero real, como las otras, el tiempo no puede detenerse y fluye de manera continua ye de manera continua y uniforme, sin posible retroceso (al parecer). Por tanto, era natural que en las ecuaciones de la Física las variables de espacio y de tiempo presentaran aspectos diferentes y estuvieran sujetos a distintas condiciones. Las ecuaciones debian ser invariantes por movimientos respecto de las coordenadas de espacio, pero en cuanto al tiempo, solo cabia un cambio de origen, o sea, una traslación, la misma para todo el espacio. Estos movimientos en el espacio y traslaciones en el tiempo constituyen el grupo de Galileo, respecto del cual debian ser invariantes, y efectivamente lo eran, las ecuaciones de la Física clasica.
Msg: 740 *SCIENCE/RESEARCH*
07/12/89 23:16:37
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (XII)
Pero a principios del siglo actual, al progresar la elecrodinamica, aparecieron fenómenos y ecuaciones en las que la coordenada tiempo aparecia mezclada con las coordenadas de espacio. H. A. Lorentz (1853-1928) («Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light», 1904) y H. Poincare (1854-1912) («Sur la dynamique de l’electron», 1905) dieron las formulas respecto de las cuales son invariantes las ecuaciones del electromagnetismo y, basandose en ellaso y, basandose en ellas, tomandolas audazmente como base no solo del electromagnetismo sino de toda la dinamica, desarrollo Einstein
(1879-1955) su teoria de la Relatividad («Zur elektrodynamic bewegter KOper», 1905). La caracteristica esencial de esta teoria que nos interesa señalar, es que en ella las coordenadas de espacio y la coordenada tiempo aparecen indisolublemente ligadas entre si. Para explicar los fenómenos fisicos ya no es posible considerar el espacio por un lado y el tiempo como algo absoluto e independiente que fluye por igual en todo el universo. Nace el espacio-tiempo, como espacio de 4 dimensiones. Quien puso clanes a que habian llegado los fisicos, fue H. Minkowski (1864-1909) («Raum und Zeit», 1909), quien mostro como las transformaciones de Lorentz no son otra cosa que las rotaciones del sistema de referencia en el espacio-tiempo. Es decir, se mantiene el sentido intuitivo de que las ecuaciones de la Física deben ser invariantes por cambios de coordenadas, pero se pasa del espacio tridimensional (intuitivo) al espacio-tiempo (no intuitivo). Con ello, segun palabras de Minkowski «el espacio en si, y el tiempo en si se hunden por completo en las sombras y solo la union de ambos conserva una existencia propia». Ante estas nuevas te estas nuevas ideas, la Geometría invade la Física y se siente a sus anchas en ella, pues la homogeneidad es una de las caracteristicas simplificadoras de sus espacios. Desde el punto de vista epistemologico, el paso de Einstein fue uno de los mas audaces de la historia. La Física Intuitiva de los griegos y la semi-intuitiva de Galileo y Newton, dio paso a una Física solamente comprensible por la razon, logicamente indiscutible una vez aceptados ciertos postulados (nada evidentes), pero muy lejos de toda representación intuitiva. A pesar de que el mismo Einstein y una innumerable cantidad de fisicos y filosofos se dedicaron a explicar intuitivamente los principios de la Relatividad (como la constancia de la velocidad de la luz) con experiencias hipoteticas de relojes situados en estrellas lejanas y señales luminosas que van y vienen, no se logro con ello mas que confundir al profano y aburrir al entendido. La Relatividad es una teoria matemática, basada en postulados que se pueden admitir o rechazar, pero no explicar con teorias elementales, puesto que en el mundo de nuestra experiencia, con velocidades no comparables a la de la luz e intervalos de tiempo a la escala humana no cabe entender, por ejemplo, que las velocidades en una misma dirección no se sumen lineaion no se sumen linealmente, ni que sea imposible hablar de «simultaneidad» en puntos diferentes del espacio.
Msg: 743 *SCIENCE/RESEARCH*
07/13/89 23:38:53
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (XIII)
RELATIVIDAD GENERAL Y TEORIAS DEL CAMPO UNIFICADO
Una vez concebido el espacio-tiempo, las teorias físicas de nuestro siglo van apareciendo de manera bastante natural. Como la Matemática ya habia desarrollado la Geometría de los espacios multidimencionales (Riemann, Ricci, Levi Civita) y las ecuaciones sobre ellos, asi como la teoria de grupos de transformaciones (Galois, Jordan, Lie, E. Cartan), no es de extrañar que los fisicos utilizaran estos elementos para idear modelos de la naturaleza y sus fenómenos. Practicamente, el unico principio que perduro siempre fue el de la «simplicidad». Mientras se disponia unicamente de curvas, las mas simples eran la recta y despues las conicas. Cuando se conocieron las ecuaciones diferenciales, fue natural empezar por las mas simples, que eran las lineales y los operadores invariantes que con ellas se pueden formar. Al aparecer el espacio-tiempo, su estructura mas simple era la de un espacio plano y las ecuaciones mas simples de ecuaciones mas simples de invariancia las rotaciones expresadas por las transformaciones de Lorentz. Al admitir que el espacio-tiempo podia ser plano, se acudio a los libros de Geometría riemanniana y se escribieron las ecuaciones mas simples posibles, que fueron las de igualar a cero el llamado tensor de Ricci. Se tuvo asi la Relatividad General de Einstein. Lo mismo que la Relatividad Especial, esta generalización tuvo gran trascendencia epistemológica. Con ella desapareció la fuerza de la gravitación que Newton formuló «sin hacer hipótesis», explicando el movimiento de los planetas por el simple principio de inercia según el cual los cuerpos libres siguen el camino más corto (geodesicas), pero ahora en el espacio-tiempo. Un cuerpo dejado en reposo en el campo gravitatorio de la Tierra, cae hacia su centro, no porque sea atraído por una fuerza misteriosa, sino simplemente porque en el momento inicial, aun estando en reposo en el espacio, el tiempo corre y por tanto el cuerpo tiene una velocidad temporal en el espacio-tiempo que obliga a su movimiento. Estamos ante una teoria mucho mas simple que las anteriores, pero la simplicidad supone el conocimiento de la Geometría de Riemann y el calculo tensorial. Cada conjunto de conocimientos tiene un extremo inferior de simplicide simplicidad al cual, al parecer, responden los fenómenos naturales. Cuando la explicación de estos ultimos exige mucha complicación, la historia enseña que ello es debido a que el modelo matematico no sirve y debe ser sustituido por otro, que exigira seguramente mayores conocimientos, pero que dentro de ellos, la explicación sera simple y natural. Al sustituir el sistema geocentrico por el heliocéntrico y las circunferencias por elipses, desaparecieron las complicaciones del sistema ptolemaico, para dar lugar al mucho mas simple sistema copernicano. Este, a su vez, se complico con poliedros regulares y esferas musicales para poder explicar ciertas anomalias, complicaciones que desaparecieron al aparecer el calculo infinitesimal y expresar la gravitación por la simple ley de Newton de la atracción universal o, mas tarde, por la ecuación de Laplace, la mas simplre de segundo orden que es invariante por movimientos del espacio ordinario. Cuando se conocio la geometría de los espacios multidimensionales y el calculo tensorial, al considerar el espacio-tiempo como una variedad de Riemann, las ecuaciones mas simples para la determinación del tensor metrico fundamental son las de la Relatividad General y la ley mas simple para el movimiento es la ley de inercia.
Msg: 744 *SCIENCE/RESEARCH*
07/13/89 23:42:01
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (XIV)
La Relatividad General, no solo explico el Sistema Solar, sino que permitio tratar con modelo matematico el Universo entero, llegando a resultados cuantitativos sobre el llamado problema cosmologico. Es interesante al respecto señalar el hecho de que las ecuaciones primitivas (tensor de Ricci igual a cero) no admitian una solución estatica para el Universo, considerado en su totalidad, con prescindencia de los movimientos locales. En vista de ello y para conservar la hipotesis tradicional de un Universo inmutable (todavia el peso de Aristoteles), Einstein modifico sus ecuaciones, introduciendo el termino cosmologico. Poco despues se vio que esta complicación era contraproducente, pues las ecuaciones primitivas, mas simples y naturales, daban la solución de un Universo en expansion, como habia sido observado por los astronomos (E, Hubble – M. L. Humason). Es un ejemplo tipico de como a veces los modelos matematicos dan mas de lo que se espera de ellos y de como la complicación de las formulas, raras veces redunda en una mayor aplicabilidad de las mismas. El exito de la Relatividad General para explicar los fenral para explicar los fenómenos gravitatorios hizo pensar en obtener por la misma via una teoria que explicara, ademas, los otros campos de la Física (el electromagnetico y los campos atomicos y nuclear). Para ello se complico la Geometría del espacio-tiempo, utilizando conexiones y tensores no simetricos y probando ecuaciones cada vez mas complicadas. La ultima teoria del campo unificado de Einstein (1950) suponia 80 funciones incognita y otras tantas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales de segundo orden, no lineales, y aunque han sido integradas y estudiadas por varios autores, no han dado resultado para la Física, sin disminuir por ello su valor matematico. Pareceria que la complicación de las mismas las aleja de las posibles aplicaciones físicas, como si la idea central que presidio la Relatividad General ya hubiera dado todo lo que es capaz de dar para la explicación de ciertos fenómenos naturales. Todas las teorias dejan de explicar ciertos puntos de partida, los cuales van retrocediendo cada vez que una teoria es sustituida por otra mas perfecta. La Relatividad General elimina la atracción newtoniana e identifica la masa inerte con la gravitatoria, pero deja por explicar la naturaleza de esas masas, que aparecen como singularidades de las ecuaciones fus de las ecuaciones fundamentales. Una teoria mas geometrica ha sido desarrollada por J.A. Wheeler y otros autores en la cual las masas y las cargas son consecuencia de la topologia del espacio, lleno de agujeros unidos por tubos («wormholes»), lo que permite aplicar a la Física todos los conocimientos de la moderna topologia (corrientes, homologia, cohomologia, homotopia). Otro modelo ha sido iniciado por Thom y otros autores, al considerar las singularidades como dobleces o arrugas del espacio-tiempo.
Msg: 791 *SCIENCE/RESEARCH*
08/04/89 00:17:55
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (XV)
LA FÍSICA CUÁNTICA
La Relatividad General obligó a renunciar a ideas tan caras a la intuición como la de «simultaneidad» y la adición lineal de velocidades, pero conservó ciertas ideas intuitivas, como la de masa, particula, trayectoria, energia y no se opuso al concepto clasico del determinismo. Ciertas observaciones de fenómenos al nivel atomico obligaron, sin embargo, a nuevos renunciamientos. La aplicación de la mecanica y de la electrodinamica clasicas a los modelos atomicos de Rutherford (1911), Bohr (1913) y Sommerfeld (1916) no conducian a resultados acordes con l resultados acordes con la experiencia. Hubo que aceptar, porque asi se explicaban hechos experimentales, que «al movimiento uniforme de todo punto material esta asociada la propagación de una cierta onda» cuya velocidad de fase es superior a la de la luz, pero cuya velocidad de grupo es igual a la del punto material. Se entro asi en la mecanica ondulatoria, mas analitica que geometrica, completada luego por SchrOdinger. En la misma epoca, Heisemberg (1901 – 1976) observo que las cantidades inherentes a los modelos atomicos (dimensiones orbitales, periodo de las revoluciones) no se habian medido nunca directamente, sino que se deducian a partir de otras cantidades observables (rayas espectrales, intensidades), por lo cual propuso operar directamente con estas ultimas, sin ningun modelo intermediario que relacionase cantidades observables
con otras no observables. Pudiera ser que, a nivel atomico los modelos pensados a la escala humana perdieran el significado y que las mismas ideas de particula, forma, movimiento, velocidad, etc, dejaran de ser aplicables, conservandose unicamente, y aun como hipotesis, las formulas y razonamientos matematicos que regian su comportamiento. Esto llevo a Heisemberg a utilizar a las matrices y su cálculo como nuevo modelo matemático, si modelo matemático, siendo conducido poco después a su «principio de indeterminación» según el cual la exactitud en el conocimiento de la posición de una partícula está condicionada por la exactitud del conocimiento de su impulso (en el fondo se trata de una desigualdad matemática clásica entre los elementos de la transformada de Fourier de una función). Con ello se renuncia al determinismo, tan natural a la intuicion y consecuencia evidente en la mecánica clásica de Newton y Laplace.
Msg: 792 *SCIENCE/RESEARCH*
08/04/89 00:20:28
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (XVI)
Desde el punto de vista geometrico que aqui nos interesa, ?donde han ido a parar los triangulos, circulos y demas figuras geometricas de Galileo? Ya no son mas figuras del espacio fisico, sino figuras del espacio-tiempo. Por otra parte la Geometría Diferencial y la Topologia han proporcionado nuevos tipos de figuras o formas, desconocidas en la Geometría tradicional. Las conexiones entre Geometría y Física se mantienen fuertes como siempre, proporcionando la primera modelos y herramientas y la segunda estimulo para estudiar ciertos
problenmas y configuraciones. En cuanto a la Mecanica Cuantica, su Geometría se alejo mucho de eometria se alejo mucho de la tradicional. Se ha fundamentado en base a los «espacios de Hilbert», espacios de infinitas dimensiones que practicamente solo conservan de Geometría el nombre. Otros elementos de la Mecanica Cuantica, como los espinores que introdujo Dirac, tienen significado geometrico como objetos representativos de rotaciones en el espacio o en el espacio-tiempo. De esta manera, Geometría y Física, siempre juntas, se han ido alejando de la intuición primitiva, procedente de la observación directa de la Naturaleza, para transformarse en teorias abstractas, que explican los fenómenos, pero dejan cada vez mas incomprensibles el «por que» de los mismos. El camino iniciado por Galileo de olvidar el «por que» para centrar el estudio en la observación y la experiencia, deduciendo consecuencias de los resultados observados sin preguntarse las causas primitivas, ha llegado tan lejos, que obliga a aceptar postulados tan ajenos a nuestra intuición, que hacen pensar en que, o bien falta la luz que ilumine los verdaderos trasfondos de las observaciones actuales, o bien el mundo que somos capaces de comprender es distinto del mundo real que nos rodea. Eddington (La filosofia de la ciencia Física, 1944), señala la necesidad de un retora necesidad de un retorno a la epistemologia cientifica que ayude a comprender y a explicar, por lo menos con cierta aproximación, varios de estos postulados basicos de la nueva Física, que solo pueden ser aceptados a posteriori por sus resultados, pero no sin esfuerzo.
Msg: 793 *SCIENCE/RESEARCH*
08/04/89 00:23:46
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (XVII)
CONCLUSIÓN
El conocimiento del mundo exterior ha obligado al hombre a ir desarrollando todas sus posibilidades de información y toda su capacidad razonadora. En un principio, la información llega a traves de los sentidos y con ella, junto con principios muy generales del conocimiento (simplicidad, razon suficiente) se llega a los primeros resultados. En general, estos resultados son buenos mientras se trata de fenómenos observables por los sentidos y cuya duración sea del orden de la vida del hombre. Fuera de estos limites, los sentidos no sirven, se carece de información directa, y no es de extrañar que la intuición fracase. Hasta el Renacimiento no habia mas que la observación directa. Por esto se hablaba del cielo «inmutable» e «incorruptible», de los cuerpos que caen cuando deja de actuar sobrecuando deja de actuar sobre ellos alguna fuerza y de la Tierra inmovil en el centro del Universo. Al descubrir el telescopio, Galileo pudo realizar observaciones mas finas y con ello se dudo de la inmutabilidad de los astros. Con las piezas de artilleria se pudieron observar mejor las trayectorias de los proyectiles y ello llevo a analizar mejor las leyes aristotelicas del movimiento. La precisión en los aparatos de medida (pendulos, balanzas, microscopios) fue ajustando la intiuición y esta fue evolucionando pero conservando siempre las caracteristicas de la adquirida a traves de los sentidos. Pero al llegar a los fenómenos atomicos o a las observaciones galacticas o extragalacticas, los aparatos necesarios ya no dan una imagen directa de lo observado, sino que se registran efectos sobre placas fotograficas o registros electronicos, que luego hay que interpretar como representativos de hechos analogos a los que observamos directamente, y esto
puede conducir a error. Puede ocurrir que a las escalas atomica y galactica, tan alejadas de la escala humana, nuestra intuición falle completamente y los fenómenos ocurran de manera muy distinta a la que estamos acostumbrados. Las teorias físicas de nuestros siglo parecen confirmar este hecho. La contracción de las dimensiones con la velocidadnes con la velocidad, la falta de determinismo, la contracción del tiempo, la existencia de una velocidad limite, son hechos que debemos aceptar por ser consecuencias logicas de hechos observables, pero no hay duda de que son rechazados por nuestra intuición.
Msg: 794 *SCIENCE/RESEARCH*
08/04/89 00:26:13
From: GUILLERMO ROIT
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Subj: GEOMETRIA Y FISICA (XVIII)
Si nuestros sentidos fueran mas potentes, la duración de la vida humana fuera de otro orden, nuestra intuición del mundo seria muy distinta. Si nuestros ojos fueran microscopios electronicos o telescopios como los del Monte Palomar, y nuestros oidos permitieran captar ondas de mucho mayor espectro en cuanto a longitud, de manera que se pudieran escuchar las señales recibidas por los actuales radiotelescopios (la musica de Kepler), nuestra Física intuitiva seria muy diferente. Igualmente, si nuestra vida fuera del orden de unos pocos segundos, o bien de miles o millones de años, captariamos de muy distinta manera los fenómenos naturales. Mientras tanto, lo infinitamente pequeño o lo infinitamente grande, son para nosotros numeros que manejamos por las reglas de aritmetica, pero que fuera de su significado matematico es poco el sentido que podemos darle que podemos darles. En esta lucha del hombre para comprender el interior del atomo donde las distancias y los tiempos se miden por potencias de diez a la menos trece y la estructura del cosmos, cuyas distancias son millones de años luz y los tiempos miles de millones de años, poco o nada puede ayudar la intuición. Su unica arma es la razon y su herramienta la matemática. Hay que estar dispuestos a aceptar cualquier modelo, por incomprensible que parezca, si el mismo conduce a buenos resultados experimentales, con la esperanza de encontrar algun dia un modelo que explique y se comprenda. Tal vez estemos ante una inversión de papeles, y asi como la Geometría ayudo a la Física hasta este siglo, tal vez ahora, las necesidades de la Física obliguen a pensar en nuevas Geometrías cuyos postulados sean tan extraños a la intuición, como lo son ciertos aspectos de la Física o de la Astronomia actuales, con el enjambre de particulas elementales de la primera y las galaxias, pulsares y cuasares de la segunda, de los cuales solo se conocen sus registros a traves de sincrotrones o radiotelescopios. La interpretación de estos registros es completamente libre. Tal vez nuevas Geometrías ayuden a clasificarlos, a unificarlos y a comprenderlos mejor.
