Acerca del Razonamiento en Geometría

Esta es una traducción de Victor Hernández y Martha Villalba del artículo original de Rina Hershkowitz.

La investigación doctoral de Orly estuvo dedicada a estudiar los procesos de justificación y prueba en geometría usados por los alumnos que ella atendía en el 9º y 10º grado. Después de dos años de investigación sus hallazgos la guiaron en una nueva dirección. Lo siguiente es lo que ella escribió en su diario de investigación (unas semanas después Orly murió en un accidente automovilístico): 

Después de dos años de investigación sobre las dificultades que tienen los estudiantes para demostrar en geometría, he empezado a preguntarme sobre las desventajas de la forma clásica de enseñar geometría Euclidiana y he empezado a experimentar con otras estrategias. Mi intención es crear situaciones en las que el «convencimiento» sea necesario. En las clases enfatizo la necesidad de convencer en lugar de la necesidad de demostrar. De esta manera, son legitimadas formas de razonamiento que en el pasado nunca se habían oído en clase.

Yo creo situaciones en las que los estudiantes evalúen por sí mismos el ` nivel de convicción ´ de las justificaciones. Esto es posible cuanto la comunidad de la clase está dividida en dos o más grupos que han hecho conjeturas diferentes e inclusive opuestas. 

En esta situación, cada argumento pasa un ` test real ´ – sea que este cause el cambio de argumentos en el grupo opuesto o no. Encontré que las formas exitosas de convencer son aquellas que están basadas en el razonamiento deductivo (incluyendo la refutación mediante contraejemplo). 

En lo anterior, se considera que las funciones principales del razonamiento son entender, explicar y convencer. Como profesor e investigador, Orly (siguiendo las huellas de otros, e.g. Lampert [8]), dio a su clase la libertad de generar conjeturas experimentalmente. Cuando surgía un conflicto y la clase se disgregaba en dos o más grupos, debatiendo conjeturas distintas sobre la misma situación, los alumnos tenían la libertad de elegir de entre una variedad de argumentos para tratar de convencer a cada uno de los otros. Los argumentos eran juzgados por su poder de convicción. Esta aproximación pedagógica refleja un cambio en considerable progreso en las matemáticas como una totalidad hacia el razonamiento en geometría y, en particular, hacia la demostración. 

Esto toma lugar en el marco de los cambios globales de acercamientos hacia lo qué es el aprendizaje significativo en matemáticas, y qué es considerado por la comunidad matemática una demostración y un argumento matemático apropiado (Hanna, [5]). Aún a riesgo de ser simplista, sugerimos que la aproximación hacia el aprendizaje como un proceso meramente receptivo de transferencia de conocimiento, y la visión de la argumentación matemática como una comunicación muy formal, ha promovido a la práctica del salón de clase hacia aquella en la que la demostración se realiza siguiendo un ritual gobernado por reglas fijas como las «demostraciones de dos columnas». Se permitió usar muchas otras clases de razonamiento en la actividad matemática, como el inductivo y/o el razonamiento visual, pero no fueron considerados como legítimos en el producto matemático principal, la demostración. 

En contraste, las nuevas aproximaciones hacia el aprendizaje, como la aproximación constructivista (Von Glaserfeld, [9]) y la aproximación sociocultural (Vigotsky, [10]), que están teniendo un impacto considerable, legitiman y promueven los procesos de razonamiento en el sentido más amplio. Los aprendices, sus entendimientos y las interacciones con la comunidad de su clase, son centrales en la visión del proceso de enseñanza – aprendizaje. Como una consecuencia, los procesos de razonamiento son considerados ahora como una variedad de acciones que toman los alumnos con el fin de comunicarse y explicar a otros, tanto como a ellos mismos, lo que ellos ven, lo que ellos descubren y lo que ellos piensan y concluyen. 

Los autores de las siguientes cinco secciones de este capítulo discuten e ilustran ejemplos de las principales tendencias novedosas del razonamiento en geometría. 

En la Sección II, Duval presenta un análisis metacognitivo de los procesos de razonamiento geométrico y sus interacciones con otros procesos de pensamiento. La contribución de Duval es un análisis profundo e interesante que refiere al razonamiento como un proceso holístico en el cual la «demostración» es sólo una de sus tres funciones. Las otras dos son: la «extensión del conocimiento» y la «explicación». También analiza la interacción entre el proceso de razonamiento y otros dos procesos de pensamiento en geometría – visualización y construcción. 

Las siguientes dos secciones – Sección III por Bartolini Bussi & Boero, y la Sección IV por Lehrer & Ronberg -discuten la teoría del desarrollo curricular y la investigación que demuestra lo que es llamado ahora «aprender geometría desde el contexto«. Esta tendencia será discutida al detalle más adelante. 

Berthelot & Salin (Sección V) discuten los roles del conocimiento espacial de los alumnos en el aprendizaje de la geometría. De esta contribución junto con el análisis de la visualización de Duval y sus interacciones con el razonamiento en geometría, surge el aspecto del razonamiento visual en geometría. Esto será discutido en la última parte de esta contribución. 

Jones (Sección VI) reta a la aproximación jerárquica, según la cual el razonamiento intuitivo precede necesariamente al razonamiento formal. Su ejemplo proporciona evidencia que muestra cómo los alumnos oscilan entre el razonamiento visual intuitivo y el razonamiento deductivo mientras resuelven problemas geométricos en un ambiente de aprendizaje basado en el uso de software dinámico. 

En lo siguiente, serán discutidas tres tendencias principales en el aprendizaje del razonamiento geométrico: en la construcción de demostraciones, en la geometría desde el contexto y visual. Las tres funciones del razonamiento de Duval – demostración, expansión del conocimiento yexplicación servirán como un contexto de trabajo para el análisis del razonamiento geométrico en cada uno de los anteriores. 

1.El razonamiento en la construcción de demostraciones

En varios capítulos y secciones de este volumen se discute en profundidad el rol de la demostración deductiva (e.g. Capítulos 5 y 6). Parece que hay un concenso de que el razonamiento deductivo (o en la jerga del salón de clase la «demostración») tiene aún un rol central en el aprendizaje de la geometría. Sin embargo, la aproximación clásica es enriquecida ahora por nuevas facetas y roles. 

Considere los dos aspectos clásicos: el razonamiento deductivo como parte de la cultura humana a ser aprendida por los seres humanos, y el razonamiento deductivo como un vehículo para la verificación de las proposiciones geométricas y para mostrar su universalidad. 

Por generaciones, la geometría ha sido enseñada como el contexto para la enseñanza del razonamiento deductivo y ha sido dominado por los aspectos clásicos antes mencionados. El reclamo más sonoro contra esta visión es que el producto – la demostración escrita – fue más importante que el proceso de demostración, y consecuentemente la enseñanza tendió a omitir tanto el contexto de visualización geométrica (formas y relaciones entre ellas) como al aprendiz. En los tiempos actuales, los esfuerzos de desarrollo e investigación están siendo dirigidos hacia la creación innovadora de ambientes de aprendizaje que aún refieren al razonamiento deductivo como un elemento básico del aprendizaje. Sin embargo, estos ambientes de aprendizaje tratan de tomar en cuenta el punto de vista de los alumnos diseñando situaciones de aprendizaje que ayuden a los alumnos a sentir una necesidad intrínseca por las explicaciones, y consecuentemente hacen la invitación a apreciar la fuerza de la justificación deductiva como una herramienta de explicación, e incluso intentan producirlas. 

Los esfuerzos curriculares más importantes en este espíritu son aquellos que están basados sobre el software de geometría dinámica. (Para un análisis detallado ver Hoyles sobre «demostración en contextos geométricos dinámicos» en el Capítulo 4, y Jones en este Capítulo). 

Una característica pedagógica principal de estos ambientes de aprendizaje es que mediante la exploración y razonamiento inductivo los alumnos se asocian para el descubrimiento de hechos geométricos y la reinvención de las relaciones geométricas. Los aspectos sugeridos por Duval sobre el ver el razonamiento como una extensión del conocimiento y como una herramienta explicativa, cobran vida en la realidad de la clase usando estos ambientes de aprendizaje. Mediante la experimentación y la generalización inductiva, los alumnos extienden su conocimiento sobre las formas y las relaciones geométricas y extienden su ` vocabulario ´ de formas legítimas de razonamiento. El razonamiento deductivo se transforma entonces en un vehículo para el entender y explicar el porqué pudiera funcionar la conjetura descubierta inductivamente. Más aún, el razonamiento deductivo se transforma en el medio para convencer a otros de la validez de la conjetura descubierta (de Villiers, [1]). 

2.El razonamiento en el aprendizaje de la geometría desde el contexto

La actividad de aprendizaje en ambientes de geometría dinámica es una tendencia que demuestra la `democratización ´ del razonamiento en el aprendizaje de la geometría. Una segunda tendencia es la que es llamada el razonamiento en el aprendizaje de la geometría desde el contexto. Según esta visión, el conocimiento geométrico puede y debe ser construido de una manera significativa en contextos que puedan servir como «campos de experiencia» (Bartolini Bussi & Boero, Sección III) o como «trampolines geométricos», (Lehrer & Ronberg, Sección IV). El contexto deberá ser `realista ´ para los alumnos, donde realista es tomado en un sentido amplio. Gravenmeijer ([3]) describe una concepción `realista ´ del currículo Alemán (qué también sirve para otros):

… realista se refiere a aquello que es experiencialmente real para los estudiantes, incluyendo a las propias matemáticas. Una vez que los estudiantes han dominado algunas matemáticas, las propias matemáticas se transforman en un contexto ` realista ´. 

En la actualidad existen muchos currícula y proyectos de investigación para los cuales los contextos realistas tiene diferentes significados. Cada uno tiene sus propias características especiales en teoría, desarrollo e investigación. En la Sección III, Bartolini Bussi & Boero describen los progresos de su trabajo en Italia, donde ellos designaron «campos de experiencia» basados en «basados en fenómenos que son notables a la historia de la cultura». Gravemeijer [3] en la Sección 3.3 in Herkowitz, Parzysz & van Dermolen ([6], pp. 176-193) discuten la teoría y práctica de la enorme cantidad de trabajo en geometría hecha en el marco del programa Alemán de la educación matemática realista. En la Sección IV de este Capítulo, Lehrer & Romberg ilustran por ejemplo el trabajo de investigación y desarrollo de «la geometría desde el contexto» en USA. 

Hay algunas características cruciales comunes a todas estas aproximaciones. Una característica clave es la que Gravemeijer [3] llama «reinvención a través de una matematización progresiva». Los alumnos son confrontados con situaciones en las que ellos observan y resuelven problemas en un contexto geométrico realista e investigan los invariantes de figuras geométricas y relaciones bajo cambios realistas. En esta interacción con el contexto ellos matematizan, digamos que ellos construyen acciones mentales superiores. La Matematización es vista como una actividad humana, como una clase de proceso de organización mediante los cuales elementos de un contexto son transformados en objetos geométricos y relaciones. 

La internalización en la que el aprendiz transita a través de «la transformación de la actividad externa en actividad interna» (Wertsch & Stone, [11], p. 162) es un aspecto importante de la matematización. Bartolini Bussi & Boero hablan acerca de «la evolución del contexto interno de los alumnos, a través de la actividad desarrollada en los campos de experiencia». Ellos proponen que en esta transición, el conocimiento geométrico, construido como una `herramienta ´ en un campo de experiencia específico, se transforma en un objeto geométrico explícito el cual puede ser implicado mientras interacciona con otro campo de experiencia. 

La matematización en geometría requiere de razonamiento geométrico. Las diferentes clases de razonamiento y explicaciones, emergen de la necesidad de actuar geométricamente (para matematizar) en «diferentes campos de experiencia», son parte de las similitudes y diferencias entre estos ambientes geométricos. Este el cambio de «lo que veo» a «cómo lo veo» de acuerdo con el cambio de posición de uno mismo (del observador), descrita por Gravemeijer [3], quien invita al aprendiz a hacer uso de herramientas geométricas reinventadas por los alumnos (i.e. líneas de visión y ángulos).

Bartolini Bussi & Boero describen cómo exploran los estudiantes el fenómeno de la sombra mediante la hechura de conjeturas basadas en su experiencia, y cómo este razonamiento inductivo ofrece los «argumentos» para la construcción subsiguientes de demostraciones. La tarea de diseñar una sobrecama, descrita por Lehrer & Romberg (Sección IV), ejemplifica un sentido relativo de matematización, en el que el conocimiento informal de los niños sobre la sobrecama y su estética en cuanto a qué es lo que hace «interesante» a una sobrecama, son transformadas progresivamente y expresadas de nueva cuenta como las matemáticas del plano. La necesidad de los estudiantes en el segundo grado de explicar a sus profesores y a sus compañeros lo que ellos están haciendo y porqué, los empuja a inventar un sistema de notación. Este sistema de notación les permite, en un estadio posterior, descubrir y explicar muchos hechos geométricos acerca de las composiciones de las transformaciones en la esencia de los cuadrados y sus diseños de sobrecamas. 

En resumen, las tres funciones del razonamiento de Duval están bien expresadas en el aprendizaje de la geometría desde el contexto. Como parte de la matematización los alumnos razonan y explican mientras construyen y expanden su conocimiento geométrico. El razonamiento como demostración empieza desde muchas clases de justificaciones inductivas; por ejemplo, en el estudio de Lehrer & Romberg la falla generalizada para encontrar un contraejemplo fue tomado por los alumnos como una verificación. En general parece que estas justificaciones empujan al alumno hacia demostraciones más formales; e.g., Bartolini Bussi & Boero proponen que: «el razonamiento que provoca las conjeturas ofrece el «argumento» para la construcción subsiguiente de una demostración». 

3.Sobre el razonamiento visual

Por un lado, se ha propuesto que la visualización en educación matemática está en su renacimiento (Zimmerman & Cunningham, [12]). Pero, por otro lado, parece que se han hecho muy pocos esfuerzos pedagógicos para realizarlo (ver Berthelot & Salin en la Sección V). Pudiera ser que la comunidad esté haciendo la suposición cándida de que los humanos nacemos con las habilidades de pensamiento visual y que éstas son aplicadas cuando se necesitan, y consecuentemente no se requiere hacer nada para alimentarla o desarrollarla. (Para más sobre educación visual y su estatus, ver Herskowitz, Parzysz & van Dormolen, [6].) 

En lo siguiente, hemos visitado de nuevo algunas visiones ampliamente difundidas sobre el razonamiento visual, y retado algunas de sus suposiciones subyacentes e incluso explícitas. 

Duval (Sección II) distingue entre procesos visuales y procesos de razonamiento, y parece sugerir que son categorías diferentes de pensamiento. Él propone que una función principal de los procesos visuales es el de la verificación subjetiva. Incluso si estamos de acuerdo con esta visión de la visualización (y levantamos algunos cuestionamientos sobre ello más abajo), muchos educadores matemáticos incluyen la verificación subjetiva como una parte integral del razonamiento en general. 

Como es propuesto en Dreyfus ([2]), parece que el razonamiento visual tiene un bajo estatus. Este es referido principalmente como un estadio intuitivo, de apoyo, global y preliminar en los procesos de razonamiento en general, el cual en algunas ocasiones apoya razonamientos posteriores, y algunas veces los obstruye. Haciendo uso de las funciones del razonamiento de Duval nosotros nos referimos al razonamiento visual como algo mucho más que esto: éste incluye a muchos, si no a la mayoría de los aspectos atribuidos a otras clases de razonamiento incluyendo aspectos analíticos e incluso la demostración. Más aún, el razonamiento visual puede funcionar por sí mismo a fin de completar argumentos matemáticos rigurosos o combinado con otras clases de razonamiento, no necesariamente como algo preliminar a ellos (ver Jones, Sección VI). 

El siguiente problema (Cerillos, Hershkovitz y Arcavi, en preparación) y las soluciones que hemos colectado y analizado, revelan cómo usa la gente el razonamiento visual a su máxima potencia (Fig. 1).

Este problema fue la base para actividades con grupos de profesores de diferentes países y culturas. 
El número y clases de soluciones inventadas y reinventadas, variaron de un grupo a otro. Fueron aplicadas aproximaciones numéricas y recursivas más de una vez, pero los argumentos visuales fueron mucho más populares y exitosos. El análisis de las siguientes dos soluciones ilustra algunos de los razonamientos visuales usados. 

1. De un cuadrado en adelante

Figura 2 

Los ponentes de esta solución vieron la estructura global como una combinación de pequeñas unidades visuales unitarias (ver Fig. 2), empezando en la esquina superior izquierda con un pequeño cuadrado (4 cerillos), y continuando entonces con unidades de tres en el mismo renglón y en la misma columna , y terminando con las unidades restantes de dos . Con el fin de obtener la generalización, estos profesores descompusieron la estructura global en elementos primitivos visuales, y entonces aplicaron una síntesis cuantitativa abstracta en la que combinaron las unidades visuales y el número de veces que aparecen. Esta aproximación a la solución es analítica en el sentido de que una totalidad es construida desde la descomposición en pequeñas unidades reconocibles y contables, y recompuesta (reconstruida) a partir de ellos. 

Aunque el resultado final es escrito en lenguaje simbólico el proceso de obtención y el razonamiento involucrado es visual. 

2.Cortar y pegar (ver Figura 3) 

Aquí, los que resolvieron `cortaron ´ el cuadrado grande a lo largo de su diagonal y luego pusieron las dos mitades una al lado de la otra (Figura 3). Cada mitad fue vista como una escalera en los renglones y en las columnas; desde 1 cerillo en la parte alta hasta n cerillos en la base. Bajando por las escaleras ellos obtuvieron la suma de los cerillos desde 1 a n, y lo mismo de izquierda a derecha en las columnas. Como esto es sólo la mitad, ellos tuvieron que duplicarlo. De esta manera, al final, obtuvieron cuatro veces la suma de cerillos desde 1 hasta n. En notación simbólica: 

Como en la aproximación previa, el razonamiento visual consistió de análisis (descomposición en unidades) y síntesis. Sin embargo, aquí, el análisis fue precedido por manipulaciones visuales de la estructura global para apoyar el análisis visual subsiguiente. 

Figura 3 

Los anteriores ejemplos de razonamiento visual son sólo dos de las abundantes aproximaciones de solución usadas. Quisiéramos sugerir, que el razonamiento visual es mucho más que un soporte intuitivo de un razonamiento de más alto nivel, es la columna vertebral de una prueba rigurosa. El proceso visual incluye: 1) una nueva manera de ver la situación con el fin de sugerir una generalización, 2) su prueba y verificación en un proceso, y 3) una explicación del `porqué ´ se sostiene la generalización (Hanna, [4]). 

Los ejemplos como éstos muestran que las capacidades visuales innatas del ser humano pueden ser cultivadas y puestas al servicio del aprendizaje de las matemáticas, no solo en un rol de apoyo, sino algunas veces como el método de ataque principal. 

Reconocimientos: Quiero agradecer a Maxim Buckenheimer, Abraham Arcavi y Joop van Dormolen por sus lecturas en el transcurso y sus retadores comentarios. 

REFERENCIAS 

[1] De Villiers, M.D., An alternative approach to proof in dinamyc geometry, In R. Lehrer & D. Chazan (Eds), Designing Learning Environments for Developing Understandings of Geometry and Space, Lawrence Erlbaum Ass. (in press) 

[2] Dreyfus, T., On the status of visual reasoning in mathematics and mathematics education, In the Proceedngs of the 15^th Conference of the PME, Assisi (Italy). Vol. 1. pp. 33-48, 1991. 

[3] Gravemeijer, K., From a different perspective: building on student´s informal knowledge, In R. Lehrer & D. Chazan (Eds), Designing Learning Environments for Developing Understandings of Geometry and Space, Lawrence Erlbaum Ass. (in press) 

[4] Hanna, G., Some pedagogical aspects of proof. Interchange, vol. 21, Nº. 1, pp. 6-23, 1990. 

[5] Hanna, G., The ongoing value of proof, In Puig L. & Gutiérrez A. (Eds). Proceedings of the 20^th Conference of the PME, Valencia (Spain) pp. I-21 – I-34, 1996.

[6] Hershkowitz, R., Parzysz, B. & van Dormolen, J., Space and Shape, In A.J. Bishop et al. (Eds) International Handbook of Mathematics Education, Kluwer, pp. 161-204, 1996. 

[7] ] Hershkowitz, R., Visualization in geometry: two sides of the coin, Focus on learning problems in mathematics. Vol. 11 (1), pp. 61 – 76, 1989. 

[8] Lampert, M., When the problem in not the question and the solution is not the answer, Mathematical knowing and teaching, American Educational Research Journal, Vol. 27, Nº. 1, pp. 29-63, 1990. 

[9] Von Glaserfeld, E., Radical Constructivism in Mathematics Education, Reidel, 1988. 

[10] Vygotsky, L.S., Mind and Society, The development of higher psychological processes, Harvard Universityy Press, 1978. 

[11] Wersch, J.V., & Stone, C.A., The concept of internalization in Vygotsky´saccount of the genesis of higher mental functions, In J.V. Wertsh, (Ed): Culture communication and cognition. Pp. 162 – 179. Cambridge University Press, 1989. 

[12] Zimmermann, W. & Cunningham, S., What is mathematical visualization?, in W. Zimmerman & S. Cunningham (Eds), Visualization in Teaching and Learning Mathematics, Mathematica Association of America, 1991.