Resolver ecuaciones polinómicas de orden superior es una habilidad esencial para cualquier persona que estudie ciencias y matemáticas. Sin embargo, entender cómo resolver este tipo de ecuaciones es todo un reto.
Este artículo discutirá cómo resolver las ecuaciones cúbicas usando diferentes métodos como el método de la división, el Teorema del Factor y la factorización por agrupación.
Pero antes de entrar en este tema, vamos a discutir lo que es una ecuación polinómica y cúbica.
Un polinomio es una expresión algebraica con uno o más términos en la que un signo de suma o de resta separa una constante y una variable. La forma general de un polinomio es axn + bxn-1 + cxn-2 + …. + kx + l, donde cada variable tiene una constante que la acompaña como coeficiente. Los diferentes tipos de polinomios son: binomios, trinomios y cuadrinomios. Ejemplos de polinomios son: 3x + 1, x2 + 5xy – ax – 2ay, 6x2 + 3x + 2x + 1, etc.
Una ecuación cúbica es una ecuación algebraica de tercer grado.
La forma general de una función cúbica es: f (x) = ax3 + bx2 + cx1 + d. Y la ecuación cúbica tiene la forma de ax3 + bx2 + cx + d = 0, donde a, b y c son los coeficientes y d es la constante.
¿Cómo se resuelven las ecuaciones cúbicas?
La forma tradicional de resolver una ecuación cúbica es reducirla a una ecuación cuadrática y luego resolverla mediante la factorización o la fórmula cuadrática.
Al igual que una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, una ecuación cúbica puede tener posiblemente tres raíces reales. Pero a diferencia de una ecuación cuadrática, que puede no tener solución real, una ecuación cúbica tiene al menos una raíz real.
Las otras dos raíces pueden ser reales o imaginarias.
Siempre que te den una ecuación cúbica o cualquier ecuación, tienes que ordenarla primero en una forma estándar.
Por ejemplo, si te dan algo como esto, 3x2 + x – 3 = 2/x, lo reordenarás en la forma estándar y lo escribirás como, 3x3 + x2 – 3x – 2 = 0. Entonces puedes resolverlo por cualquier método adecuado.
Veamos algunos ejemplos a continuación para una mejor comprensión:
Ejemplo 1
Determinar las raíces de la ecuación cúbica 2x3 + 3x2 – 11x – 6 = 0
Solución
Como d = 6, entonces los posibles factores son 1, 2, 3 y 6.
Ahora aplica el Teorema del Factor para comprobar los posibles valores por ensayo y error.
f (1) = 2 + 3 – 11 – 6 ≠ 0
f (-1) = -2 + 3 + 11 – 6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 – 22 – 6 = 0
Por tanto, x = 2 es la primera raíz.
Podemos obtener las otras raíces de la ecuación utilizando el método de la división sintética.
= (x – 2) (ax2 + bx + c)
= (x – 2) (2x2 + bx + 3)
= (x – 2) (2x2 + 7x + 3)
= (x – 2) (2x + 1) (x +3)
Por tanto, las soluciones son x = 2, x = -1/2 y x = -3.
Ejemplo 2
Encontrar las raíces de la ecuación cúbica x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0
Solución
x3 – 6x2 + 11x – 6
(x – 1) es uno de los factores.
Al dividir x3 – 6x2 + 11x – 6 entre (x – 1),
⟹ (x – 1) (x2 – 5x + 6) = 0
⟹ (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0
Esta de las soluciones de la ecuación cúbica son x = 1, x = 2 y x = 3.
Ejemplo 3
Resolver x3 – 2x2 – x + 2
Solución
Factoriza la ecuación.
x3 – 2x2 – x + 2 = x2(x – 2) – (x – 2)
= (x2 – 1) (x – 2)
= (x + 1) (x – 1) (x – 2)
x = 1, -1 y 2.
Ejemplo 4
Resolver la ecuación cúbica x3 – 23x2 + 142x – 120
Solución
Primero factoriza el polinomio.
x3 – 23x2 + 142x – 120 = (x – 1) (x2 – 22x + 120)
Pero x2 – 22x + 120 = x2 – 12x – 10x + 120
= x (x – 12) – 10(x – 12)
= (x – 12) (x – 10)
Por tanto, x3 – 23x2 + 142x – 120 = (x – 1) (x – 10) (x – 12)
Iguala cada factor a cero.
x – 1= 0
x = 1
x – 10 = 10
x – 12= 0
x = 12
Las raíces de la ecuación son x = 1, 10 y 12.
Ejemplo 5
Resolver la ecuación cúbica x3 – 6 x2 + 11x – 6 = 0.
Solución
Para resolver este problema usando el método de la división, toma cualquier factor de la constante 6;
deja que x = 2
Divide el polinomio por x-2 para
(x2 – 4x + 3) = 0.
Ahora resuelve la ecuación cuadrática (x2 – 4x + 3) = 0 para obtener x= 1 o x = 3
Por tanto, las soluciones son x = 2, x= 1 y x =3.
Ejemplo 6
Resolver la ecuación cúbica x3 – 7x2 + 4x + 12 = 0
Solución
Sea f(x) = x3 – 7x2 + 4x + 12
Como d = 12, los valores posibles son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.
Por ensayo y error, encontramos que f (-1) = -1 – 7 – 4 + 12 = 0
Por tanto, (x + 1) es un factor de la función.
x3 – 7x2 + 4x + 12
= (x + 1) (x2 – 8x + 12)
= (x + 1) (x – 2) (x – 6)
Por tanto, x = -1, 2, 6
Ejemplo 7
Resuelve la siguiente ecuación cúbica:
x3 + 3x2 + x + 3 = 0.
Solución
x3 + 3x2 + x + 3
= (x3 + 3x2) + (x + 3)
= x2(x + 3) + 1(x + 3)
= (x + 3) (x2 + 1)
Por tanto, x = -1 ,1 -3.
Ejemplo 8
Resolver x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0
Solución
Factorizar
x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0 ⟹ (x – 1) (x – 2) (x – 3) = 0
Igualando cada factor a cero se obtiene;
x = 1, x = 2 y x = 3
Ejemplo 9
Resolver x3 – 4x2 – 9x + 36 = 0
Solución
Factoriza cada conjunto de dos términos.
x2(x – 4) – 9(x – 4) = 0
Extrae el factor común (x – 4) para dar
(x2 – 9) (x – 4) = 0
Ahora factoriza la diferencia de dos cuadrados
(x + 3) (x – 3) (x – 4) = 0
Igualando cada factor a cero, obtenemos
x = -3, 3 ó 4
Ejemplo 10
Resolver la ecuación 3x3 -16x2 + 23x – 6 = 0
Solución
Divide 3x3 -16x2 + 23x – 6 entre x -2 para obtener 3x2 – 1x – 9x + 3
= x (3x – 1) – 3(3x – 1)
= (x – 3) (3x – 1)
Por tanto, 3x3 -16x2 + 23x – 6 = (x- 2) (x – 3) (3x – 1)
Iguala cada factor a cero para obtener
x = 2, 3 y 1/3
Resolución de ecuaciones cúbicas por el método gráfico
Si no puedes resolver la ecuación cúbica por ninguno de los métodos anteriores, puedes resolverla gráficamente. Para ello, necesitas tener un esquema preciso de la ecuación cúbica dada.
El punto(s) donde su gráfica cruza el eje x, es una solución de la ecuación. El número de soluciones reales de las ecuaciones cúbicas es igual al número de veces que su gráfica cruza el eje x.
Ejemplo 11
Encuentra gráficamente las raíces de x3 + 5x2 + 2x – 8 = 0.
Solución
Basta con dibujar la gráfica de la siguiente función sustituyendo valores aleatorios de x:
f (x) = x3 + 5x2 + 2x – 8
Puedes ver que la gráfica corta al eje x en 3 puntos, por tanto, hay 3 soluciones reales.
A partir de la gráfica, las soluciones son:
x = 1, x = -2 y x = -4.
