Libro XII
Geometría de los sólidos
Formando una especie de trilogía, los Libros XI-XII y XIII hablan de la geometría del espacio. Las 28 primeras definiciones y ningún postulado y 75 proposiciones, 63 de las cuales son teoremas y las demás 12 son problemas aunque estén presentadas estas últimas como proposiciones mixtas. Incluyen el estudio de los cinco poliedros regulares conocidos como sólidos platónicos.
Proposiciones
Proposición 1
Los polígonos semejantes inscritos en círculos son el uno al otro como los cuadrados de los diámetros.
Proposición 2
Los círculos son el uno al otro como los cuadrados de sus diámetros.
Proposición 3
Toda pirámide que tenga como base un triángulo se divide en dos pirámides iguales, semejantes una a la otra y a la pirámide entera, que tienen triángulos como base, y se divide en dos prismas iguales; y los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide entera.
Proposición 4
Si hay dos pirámides de la misma altura que tienen triángulos como base, y cada una de ellas se divide en dos pirámides iguales entre sí y semejantes a la pirámide entera y en dos prismas iguales; entonces tal y como la base de una pirámide es a la base de la otra, entonces serán todos los prismas de una pirámide a todos los prismas iguales en número a la otra pirámide.
Proposición 5
Las pirámides que tienen la misma altura y tienen triángulos como base son entre sí como sus bases.
Proposición 6
Las pirámides que tienen la misma altura y tienen polígonos como base son entre sí como sus bases.
Proposición 7
Cualquier prisma que tenga como base un triángulo se divide en tres prismas iguales entre si que tienen triángulos como base.
Proposición 8
Las pirámides semejantes que tienen como base triángulos guardan una razón triplicada de la razón de sus lados correspondientes.
Proposición 9
Las bases de las pirámides iguales que tienen como base triángulos están inversamente relacionadas con sus alturas; y las pirámides que tienen como base triángulos, las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.
Proposición 10
Cualquier cono es la tercera parte del cilindro que tiene la misma base y la misma altura.
Proposición 11
Los conos y cilindros que tienen la misma altura son entre sí como sus bases.
Proposición 12
Los conos y cilindros semejantes guardan entre sí una razón triplicada de la que guardan los diámetros de sus bases.
Proposición 13
Si un cilindro se corta por un plano que sea paralelo a los planos opuestos, entonces, tal y como el cilindro es al cilindro, el eje es el eje.
Proposición 14
Los conos y cilindros que están sobre bases iguales son entre sí como sus alturas.
Proposición 15
Las bases de los conos y cilindros iguales están inversamente relacionadas con las alturas, y aquellos conos las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.
Proposición 16
Dados dos círculos con el mismo centro, inscribir en el círculo mayor un polígono equilátero y de un número par de lados que no toque el círculo menor.
Proposición 17
Dadas dos esferas con el mismo centro, inscribir en la esfera mayor un sólido poliédrico que no toque la superficie de la esfera menor.
Proposición 18
Las esferas guardan entre sí una razón triplicada de la razón de sus respectivos diámetros.
