Los Orígenes de la Geometría
Miguel Peña
Asesor de matemática de la U. N. A. Carabobo.
Prof. B.I. Liceo Camoruco Valencia.
Productor de “Elementos de la Reina” Universitaria 104,5 F .M.
Las principales consideraciones geométricas son muy antiguas y, al parecer, se originaron en observaciones realizadas por el hombre, gracias a su habilidad para reconocer y comparar formas y tamaños.
Muchas circunstancias en la vida humana, aún en la edad primitiva, condujeron a numerosos descubrimientos geométricos: la noción de distancia fue, sin duda alguna, uno de los primeros conceptos geométricos descubiertos; la estimación del tiempo necesario para hacer un viaje condujo, originalmente, a observar que la recta constituye la trayectoria mas corta de un punto a otro; incluso, por intuición, la mayoría de los animales se da cuenta de esto. La necesidad de limitar terrenos llevaron al hombre a la noción de figuras geométricas simples, tales como: rectángulos, cuadrados, triángulos. Otros conceptos geométricos elementales, como las nociones de vertical, de rectas paralelas, de rectas perpendiculares, pueden haber sido sugeridos por la construcción de paredes y viviendas primitivas.
También muchas observaciones en la vida diaria pudieron haber conducido a los primeros seres humanos al concepto de curvas, superficies y sólidos. Por ejemplo, los casos de circunferencia fueron numerosos: la periferia del sol, de la luna, las ondas que se forman al lanzar una piedra en un estanque de agua, etc. La noción de secciones cónicas: parábolas, elipses, hipérbolas, pudo haber sido insinuada por las sombras producidas por el sol o una antorcha. Los alfareros primitivos hicieron sólidos de revolución. Además, el cuerpo del hombre, de los animales, las flores y las hojas de muchas plantas, las conchas marinas y algunos frutos, sugieren la noción de simetría. La idea de volumen viene de manera casi inmediata, al considerar y fabricar recipientes para contener agua, aceite, cereales y otros alimentos de consumo diario.
De esta manera se fue creando, inconscientemente, una geometría utilizada en un principio por el hombre para solucionar problema geométricos concretos, que bien pudieron presentársele de manera aislada, sin conexión aparente entre unos y otros y, claro, también la pudo utilizar en la fabricación de objetos ornamentales y artísticos.
Naturalmente, esas manifestaciones artísticas y esos problemas concretos contribuyeron al surgimiento y al posterior desarrollo de la geometría. La geometría empezaba a volverse una ciencia. Pero, ¿cuándo la inteligencia humana fue capaz de extraer de relaciones geométricas concretas una relación geométrica abstracta y general, que contenga a las primeras como casos particulares?.
Realmente, no hay evidencias que permitan estimar el número de siglos que pasaron, antes que el hombre pudiera elevar la geometría al nivel de ciencia, pero todos los escritores e historiadores de la antigüedad que trataron este tema concuerdan unánimemente, con que en el valle del río Nilo, en el antiguo Egipto, fue donde la geometría empírica subconsciente se convirtió, por primera vez, en geometría científica.
La opinión del celebre historiador Proclo, sobre los orígenes de la geometría es la siguiente:
………..,”de acuerdo con la mayoría de las versiones, la geometría fue primeramente descubierta en Egipto, teniendo su origen en la medición de áreas, ya que ésta era una necesidad para los egipcios, debido a que el Nilo, al desbordarse, barría con las señales que indicaban los límites de los terrenos de cada cual”.
“Y por tanto, no es sorprendente que el descubrimiento de la geometría y otras ciencias tuvieran su origen en las necesidades prácticas, viéndose que todas las cosas se encuentran en el camino que progresa de lo imperfecto a lo perfecto. Por tanto, la transición de la mera sensación al razonamiento y de éste al entendimiento no es mas que una cosa natural…….”
“Y así como la Aritmética tuvo su origen entre los fenicios, debido a su uso en el comercio y las transacciones, la geometría fue descubierta en Egipto por las razones antes expuestas…..”
Esta opinión es compartida por otros autores, aunque todas ellas, parecen tener su origen en el pasaje que Herodoto señala en tiempos de Ramsés II.
El famoso historiador griego Herodoto, enunció la tesis de la manera siguiente:
“Dijeron, también, que este rey dividió la tierra entre los egipcios, de modo que a cada uno le correspondiera un terreno rectangular del mismo tamaño, y estableció un impuesto que se exigía anualmente. Pero cuando el río invadía una parte de alguno, éste tenía que ir al rey y manifestar lo sucedido. El rey enviaba, entonces, supervisores quienes debían medir en cuanto se había reducido el terreno, para que el propietario pagara sobre lo que le quedaba en proporción al impuesto total que se había fijado. Ésta es mi opinión, comenta Herodoto, sobre el origen de la geometría que después pasó a Grecia.”
Posiblemente, esta afirmación de Herodoto, no es más que una simple transcripción de lo recogido por él en Egipto. Lo cierto es que los griegos nunca negaron este hecho.
Así pues, la tradición atribuye los principios de la geometría como ciencia, a las prácticas primitivas de la agrimensura en Egipto; la palabra geometría significa “medición de la tierra”. Aunque no se puede afirmar con seguridad, parece bastante acertado suponer que la geometría surgió de necesidades prácticas.
Pero no solo los egipcios contribuyeron al desarrollo de la geometría: los babilonios también trabajaron en la geometría empírica y resolvieron problemas prácticos.
GEOMETRÍA BABILÓNICA Y EGIPCIA
La civilización babilónica engloba un conjunto de pueblos que vivieron en Mesopotamia, en un período que comienza hacia el año 5000 A.C. y termina en los primeros tiempos del cristianismo. Uno después de otro, estos pueblos: sumerios, arcádicos, caldeos, asirios, babilonios y otros, contribuyeron a establecer las características de la civilización babilónica. Más exactamente, la ciudad de Babilonia fue el centro cultural entre los años 2000 y 550 A.C.; incluso después de la toma de Babilonia por el conquistador persa Ciro, en el año 538 A.C., la evolución de las matemáticas babilónicas continuó durante la llamada época “seléucida”, cuyo fin coincide aproximadamente con el nacimiento de Cristo.
El estudio de los documentos que proceden de las excavaciones arqueológicas, revela que la geometría babilónica estaba íntimamente ligada a las mediciones prácticas. No había una diferencia esencial entre la partición de una cierta cantidad de dinero, de acuerdo a ciertas reglas, y la división de un terreno en partes de áreas iguales. Las condiciones exteriores tenían que ser observadas, en un caso eran las condiciones acerca de una herencia; en otras las reglas determinan un área, o las relaciones entre medidas, o los problemas acerca de salarios. La importancia matemática de un problema recaía sobre su solución aritmética, la geometría no era sino una cosa más entre las muchas de la vida diaria, a las cuales era posible aplicarles los métodos aritméticos.
La geometría no era una disciplina especial, sino que era tratada igualmente que a cualquier otra forma de relación numérica entre objetos de uso práctico. Entre los resultados geométricos conocidos en Mesopotamia, se encuentran métodos para calcular el área de un círculo, con muy buenas aproximaciones del número. (Los babilonios podían además calcular el área de un triángulo y de un trapecio. Los volúmenes de prismas rectos y cilindros, los calculaba multiplicando el área de la base por la altura. Tenían fórmulas para determinar el volumen de un tronco de cono y pirámides cuadrangulares truncadas.
Los geómetras babilónicos estaban familiarizados con el teorema de Pitágoras, y comprendían su principio general. Conocían también el teorema; atribuido a Tales de Mileto; según el cual el ángulo inscrito en un semicírculo es recto. Además, sabían que “los lados correspondientes de dos triángulos rectángulos semejantes son proporcionales”, y que “la perpendicular trazada desde el vértice de un triángulo isósceles divide la base de este triángulo en dos partes iguales ”.
También los geómetras egipcios hicieron su aporte a la civilización griega. La mayoría de los problemas de geometría que aparecen en los diferentes papiros hace referencia a fórmulas de medición necesarias para evaluar el área de figuras planas y de ciertos volúmenes. El área de un triángulo isósceles se obtiene multiplicando la mitad de la base por la altura. Los egipcios estaban acostumbrados a transformaciones que usan la semejanza de rectángulos con ayuda de triángulos isósceles y trapecios isósceles. Calculaban también el volumen de cilindros y prismas, pero desconocían el teorema de Pitágoras en su formulación general. Poseían una buena aproximación del número.
La semejanza y la proporcionalidad no les eran desconocidas a los geómetras egipcios. En el siglo XIII A.C., dos figuras similares, aunque de dimensiones diferentes, fueron dibujadas en las paredes de la habitación donde se encuentra la tumba de Seti I.
En el papiro de Moscú, se encuentra un enunciado que evidencia el conocimiento de la fórmula para calcular el volumen de un tronco de pirámide de base cuadrada. Se han dado varias explicaciones, pero es difícil, incluso hoy, tratar de saber el método empleado por los egipcios y como llegaron a obtener esa fórmula. Los papiros existentes proporcionan poca información sobre la geometría egipcia y las propiedades matemáticas de la pirámide de base cuadrada. Lo que sí se sabe con certeza, es que los autores de esos documentos históricos egipcios, sabían calcular la pendiente de los lados de una pirámide y su volumen. La construcción de las pirámides fue, para ellos, la ocasión de utilizar el equivalente de nuestra cotangente.
Es interesante observar que en la matemática egipcia y babilónica, no se encuentra un solo caso de lo que hoy se llama demostración. En lugar de una argumentación general, se encuentra una descripción detallada de un procedimiento aplicado a un caso particular. Unos cuantos siglos antes de Jesucristo, toda la sabiduría empírica acumulada por egipcios y babilonios, en especial las matemáticas, pasa a poder de los griegos; pero éstos, a diferencia de aquellos, pusieron gran empeño en concluir los hechos geométricos, no sólo de manera empírica, sino, primordial y casi exclusivamente, con base en razonamientos deductivos.
Fue Tales de Mileto, uno de los primeros pensadores griegos, que vivió hacia el año 600 A.C., quien llevó la geometría de Egipto a Grecia. Y si bien egipcios y babilonios, elaboraron los primeros conceptos geométricos, los griegos transformaron un considerable número de conocimientos particulares, no sistematizados y aproximados, en una disciplina rigurosa basada en la lógica.
Sea como sea, lo que sabemos hoy en día indica que la matemática mesopotámica estaba más desarrollada que la egipcia, y que su influencia en los primeros siglos de la cultura Helénica fue decisiva. De todas maneras, todas esas culturas tuvieron una gran interacción, y no hay duda de que, igualmente, todas las ideas tuvieron una gran difusión entre los griegos, que posteriormente las divulgaron por muchos países.
Miguel Peña
Asesor de Matemática de la UNA – Centro Local Carabobo.
Prof. B. I. Del Liceo Camoruco.
Miembro de la Directiva de ASOVEMAT.
Coproductor de Elementos de la Reina.
