Un evento compuesto es un evento th incluye dos o más eventos simples. Los eventos simples son eventos que pueden tener un solo resultado, mientras que los eventos compuestos pueden tener múltiples resultados diferentes. Los eventos compuestos pueden estar formados por una serie de eventos independientes (eventos en los que el resultado de un evento no tiene efecto sobre la probabilidad del otro) o eventos dependientes (eventos en los que el resultado de un evento afecta la probabilidad de otro).
El concepto de eventos compuestos se utiliza para determinar probabilidades compuestas.
Probabilidad compuesta
Una probabilidad compuesta es la probabilidad de un evento compuesto. Generalmente, es la razón de resultados favorables al número total de resultados dentro del espacio muestral del evento compuesto y se puede calcular usando una de dos reglas: la regla de la suma y la regla de la multiplicación.
Regla de adición
La regla de la suma se puede usar para eventos compuestos en los que los eventos simples involucrados no ocurren juntos. Esto se conoce como «mutuamente excluyente». Por ejemplo, una persona no puede pesar 160 libras y 162 libras al mismo tiempo. Solo pueden ser uno u otro, por lo que la probabilidad de que alguien pese 160 o 162 libras es mutuamente excluyente.
Para encontrar la probabilidad de que ocurra uno de varios eventos mutuamente excluyentes, use la regla de la suma y sume las probabilidades de cada evento:
P (A o B)=P (A) + P (B)
Ejemplo
Consulte la tabla a continuación y encuentre la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar pese 50 kilogramos (~ 130 libras) o más.
| Distribución de probabilidad para el peso de los estudiantes en una clase | |
|---|---|
| Peso (kg) | Frecuencia relativa |
| 54 o más | 0,09 |
| 53 | 0,07 |
| 52 | 0,09 |
| 51 | 0,14 |
| 50 | 0,17 |
| 49 | 0,15 |
| 48 | 0,08 |
| 47 | 0.06 |
| 46 | 0.04 |
| 45 o menos | 0.11 |
| Total: 1,00 | |
Dado que X es la variable aleatoria que representa el peso de un estudiante, la probabilidad de que un estudiante pese 50 kg o más se puede escribir como:
P (X ≥ 50)
Dado que el peso de un estudiante es un evento mutuamente excluyente, la probabilidad de que un estudiante seleccionado al azar pese 50 kg o más se puede encontrar usando la regla de la suma sumando las probabilidades de todos los pesos de 50 kg o más:
P (X ≥ 50)=P (50) + P (51) + P (52) + P (53) + P (54 o más)
P (X ≥ 50)=0,17 + 0,14 + 0,09 + 0,07 + 0,09=0,56
Existe un 56% de posibilidades de que un estudiante seleccionado al azar pese 50 kg o más.
Para los eventos que no son mutuamente excluyentes, la regla de adición aún se puede usar, pero se debe tener en cuenta la superposición entre los distintos resultados. Por ejemplo, suponga que los estudiantes son hombres con una probabilidad de 0.55, más altos que 5’4 «con una probabilidad de 0.35, o ambos con una probabilidad de 0.10. Para encontrar la probabilidad de que un estudiante sea hombre o más alto que 5’4 «, podemos sumar las dos primeras probabilidades (0.55 + 0.35=0.90), pero necesitamos restar la probabilidad de que sean ambas, de lo contrario estos estudiantes serían contados dos veces. Dado que P (A) es la probabilidad de que un estudiante sea hombre y P (B) es la probabilidad de que el estudiante mida más de 5’4 «:
P (A o B)=P (A) + P (B) – P (A y B)
Por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante sea hombre o mida más de 5’4 «es:
0.55 + 0.35 – 0.10=0.80
Regla de multiplicación
La regla de la multiplicación se puede utilizar para determinar la probabilidad de un grupo de eventos simples dependiendo de si los eventos son eventos independientes o eventos dependientes .
Probabilidad de eventos independientes
La probabilidad de un evento compuesto donde los eventos son eventos independientes se puede encontrar multiplicando las probabilidades de cada evento independiente que forma el evento compuesto. Dados dos eventos, A y B, con probabilidades de P (A) y P (B), la probabilidad de que ocurran ambos eventos es:
P (A y B)=P (A) · P (B)
Ejemplo
¿Cuál es la probabilidad de que un dado que se lanza dos veces caiga en 3 en ambas ocasiones?
Cada vez que se lanza el dado, constituye un evento independiente, por lo que el resultado de la tirada de un dado no afecta el resultado de las tiradas posteriores. Dado que P (A) es la probabilidad de que el primer rollo caiga en 3, y P (B) es la probabilidad de que el segundo rollo caiga en 3:
P (A y B)=P (A) · P (B)=1/6 × 1/6=1/36=0.278
Hay aproximadamente un 27,8% de posibilidades de que un dado justo caiga en 3 en ambas ocasiones en 2 tiradas.
Probabilidad de eventos dependientes
La probabilidad de un evento compuesto donde los eventos son eventos dependientes se puede encontrar calculando primero la probabilidad del primer evento, luego calculando la probabilidad de que ocurra el segundo evento dado que el primero ya ha ocurrido (la probabilidad condicional de la segundo evento dado el primero). Multiplicar la probabilidad del primer evento por la probabilidad condicional del segundo evento, dado el primero, da como resultado la probabilidad de que ocurran ambos eventos:
P (A y B)=P (A) · P (B | A)
Como ejemplo, suponga que el 20% de los estudiantes de una escuela secundaria son estudiantes del último año y que el 40% de los estudiantes de la escuela secundaria han cursado precálculo. Si ser un estudiante de último año no tuvo ningún efecto sobre si un estudiante había tomado precálculo o no, entonces la probabilidad de ser un estudiante de último año y haber tomado precálculo sería (0,20) · (0,40)=0,08. Sin embargo, si se observa que ser un estudiante de último año aumenta la probabilidad de que un estudiante haya tomado pre-cálculo al 65%, la probabilidad anterior sería incorrecta. La probabilidad del 40% de que un estudiante de secundaria haya tomado precálculo debería ajustarse para tener en cuenta que es más probable que un estudiante de último año haya tomado el curso.
La probabilidad de que un estudiante sea al mismo tiempo un estudiante de último año y haya tomado precálculo es, por lo tanto, la probabilidad de que un estudiante sea un estudiante de último año multiplicada por la probabilidad de que el estudiante haya tomado precálculo dado que es un estudiante de último año:
P (senior y pre-cálculo)=P (senior) · P (pre-cálculo | senior)
P (senior y precálculo)=(0,20) · (0,65)=0,13
Por lo tanto, existe en realidad un 13% de probabilidad de que un estudiante sea un estudiante de último año y haya tomado precálculo, en lugar de un 8% de probabilidad, ya que este último no tiene en cuenta la mayor probabilidad de haber tomado precálculo. cálculo para cuando el estudiante sea mayor.
