El teorema fundamental del cálculo (FTC) establece la conexión entre derivadas e integrales, dos de los conceptos principales en cálculo. También nos brinda una forma eficiente de evaluar integrales definidas.
Suponga que f (x) es continua en un intervalo [a, b]. Entonces F es una función que satisface F ‘(x)=f (x) si y solo si
para todas las x en [a, b].
Para comprender mejor la FTC, observe que cuando hemos elegido una x en particular, la integral,
es un número, por lo que 
depende solo de x, no de t. En este caso, t es un marcador de posición que recorre todos los valores entre ayx cuando integramos f de a a x.
Ejemplo 1
Evalúe la siguiente integral:
De la FTC, si podemos encontrar una función F que satisfaga F ‘(x)=x 2 , entonces:
Uno de esos F que satisface F ‘(x)=x 2 es:
según la regla del poder, entonces:
Corolario: La integración y la diferenciación son procesos inversos
Considere la función F en [a, b] definida por la integral
para alguna función continua f en [a, b]. Podría decirse que la consecuencia más importante de la FTC es que la derivada de F es:
entonces
para todas las x en [a, b]. Por lo tanto, por la FTC,
La derivada, F ‘(x), es:
La FTC y la regla de la cadena
Usando el corolario descrito en la sección anterior,
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junto con la regla de la cadena, podemos encontrar las derivadas de funciones como las que se muestran a continuación.
Ejemplo 2
Observe que el límite superior de la integral definida es x 2 en lugar de x, por lo que para establecer la regla de la cadena, hacemos la sustitución u=x 2 . La regla de la cadena implica que:
 | = |  | |
| = | | ||
 | = |  | |
| = |  |
y 
entonces
 | = | | |
| = |  |
Tenga cuidado con las variables independientes y de marcador de posición. Para evitar errores, es importante recordar exactamente con qué variables estamos integrando o diferenciando.
Ejemplo 3
Encuentre la derivada de
Este problema podría causar confusión ya que tenemos la variable independiente, x, mezclada con la variable de marcador de posición, t, debajo de la integral, y diferenciar o integrar con respecto a la variable incorrecta daría como resultado la respuesta incorrecta. Sin embargo, dado que la integral es con respecto a t debido al término dt, el término x 2 se puede tratar como constante, por lo que podemos factorizarlo fuera de la integral para obtener
Ahora podemos usar la regla del producto para encontrar :
y 
del corolario, entonces
| = | |
Prueba del teorema fundamental del cálculo
Recuerde la declaración original de FTC: Suponga que f (x) es continua en [a, b]. Entonces F es una función que satisface F ‘(x)=f (x) si y solo si
para todas las x en [a, b].
Para demostrar que si , entonces 
, primero asumimos que
para todas las x en [a, b]. Sumar F (a) a ambos lados nos da una expresión para F (x):
(1) 
La definición de límite de F ‘(x) es:
Consulte la página derivados para obtener más información sobre la definición de límite de un derivado.
Colocando la ecuación (1) en la definición de límite de una derivada,
 | = | | |
| = | |
A medida que h se vuelve más pequeña, x + h se acerca a x, o más formalmente, 
. Por la continuidad de f, 
, así que cuando h va a 0, la función valora f (t) para todo t en el intervalo x ≤ t ≤ x + h también satisfacen 
, así que
| = |  | |
| = |  | ||
| = |  |
Ahora para demostrar que si F ‘(x)=f (x) entonces , suponga que F ‘(x)=f (x) para todo x en [a, b]. Esto también significa que cuando arreglamos una x en [a, b],
para todo t en el intervalo a ≤ t ≤ x. Conectando la sustitución anterior en la integral da
(2)
Podemos dividir el intervalo [a, x] en n intervalos [a, a + h], [a + h, a + 2h], …, [a + (n – 1) h, a + nh] donde 
. Esto nos prepara para ver el lado derecho como el límite de las sumas de Riemann:
(3)
donde cada t i es un valor aleatorio en el intervalo i th [a + (i – 1) h, a + ih]. Según el teorema del valor medio, existe en i * en el i th intervalo [a + (i – 1) h, a + ih] que satisface
Dado que los t i se eligen al azar, podemos reemplazar cada t i con t i * , por lo que el límite de las sumas de Riemann se convierte en
vg «>
(4)  | |||
| = | | ||
 | = |  | |
 |
Al extrapolar lo anterior, vemos que todos los términos intermedios se cancelan, dejando solo F (a + nh) y F (a) al principio y al final de la suma telescópica. También tenga en cuenta que F (a + nh) y F (a) al principio y al final de la suma telescópica. También tenga en cuenta que 
. Por lo tanto,
(5)
Al encadenar la serie de sustituciones dadas por (2) – (5) , obtenemos
siempre que F ‘(x)=f (x) para todo x en [a, b].
