Valor absoluto

El valor absoluto de un número real, también conocido como su módulo, es el valor no negativo de x sin tener en cuenta el signo de x; el valor absoluto de un número es siempre positivo o 0. Una forma de pensar en el valor absoluto de un número es como su distancia desde 0. El valor absoluto se denota como | x | o abs (x), y funciona de manera que:

| x |=x

y

| -x |=x

Por ejemplo, los números 2 y -2 tienen una distancia de 2 a 0, por lo que su valor absoluto es el mismo, aunque su signo no sea:

| 2 |=2

| -2 |=2

El valor absoluto de 0 es 0. La función de valor absoluto, f (x)=| x |, se puede describir como una función por partes:

f (x) =

– x, ; x & lt; 0
0, x=0
x, x & gt; 0

Su gráfico, para números reales, es una función par que tiene un giro brusco en la parte inferior, como se muestra en la siguiente figura:


La función de valor absoluto también se define para números complejos, así como para otros objetos matemáticos, pero en el contexto del álgebra, solo discutiremos la función de valor absoluto para números reales. Para los números reales, dado que ayb son números reales, el valor absoluto tiene las siguientes propiedades:

No negatividad

| a | ≥ 0

Esta propiedad solo significa que el valor absoluto de cualquier número real es positivo o 0.

Definitividad positiva

| a |=0 ↔ a=0

Esta propiedad se lee como «el valor absoluto de a es igual a 0 si y solo si a es igual a 0,» lo que significa no hay ningún valor real que tenga un valor absoluto de 0, excepto el propio 0.

Multiplicatividad

| ab |=| a || b |

La propiedad de la multiplicatividad establece que el valor absoluto del producto de a y b es el mismo que el valor absoluto de los productos del valor absoluto de a y b individualmente. Esto puede ser útil al manipular o resolver ecuaciones que involucran valores absolutos.

Subaditividad

| a + b | ≤ | a | + | b |

La propiedad de subaditividad establece que el valor absoluto de la suma de a y b siempre será menor o igual que a la suma de cada uno de sus valores absolutos. Esta, como la propiedad de la multiplicatividad, es una propiedad útil cuando se manipulan o resuelven ecuaciones que involucran valores absolutos.