Teoría de los números

Una breve introducción a la teoría de números

La teoría de números es la rama de las matemáticas que estudia los números enteros, que son todos los números enteros a cada lado de la recta numérica. La teoría de números analiza las propiedades específicas de los números enteros y busca patrones en las formas en que los diferentes tipos de números se distribuyen o se relacionan entre sí.

Ejemplos de teoría de números

Los siguientes son algunos de los temas que probablemente abordaría un curso sobre teoría de números, junto con algunos ejemplos de cada uno.

  1. Reglas de divisibilidad.
    Las reglas de divisibilidad son herramientas que le ayudarán a saber rápidamente si un número es divisible por un determinado número entero. Las siguientes son algunas reglas de muestra.
  • Todos los números pares (que terminan en 0, 2, 4, 6 u 8) son divisibles por 2. Por ejemplo, 1.104 es divisible por 2 porque su último dígito, 4, es divisible por 2.
  • Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por tres. Por ejemplo, el número 288 es divisible por 3 porque 2 + 8 + 8 = 18, que es divisible por 3.
  • Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 y 3. En el segundo ejemplo anterior, establecimos que 288 es divisible por 3. Debido a que termina en un número par, también es divisible por 2, lo que significa que 288 es divisible por 6.

2. Factores

  • Los factores son dos números enteros que, cuando se multiplican, dan como resultado un tercer número. Todos los números excepto 0 y 1 tienen al menos dos factores: 1 y el número en sí. Pero los números pueden tener muchos más factores. El número 100, por ejemplo, tiene 9 factores: 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 y 100.

3. Números primos.

Los números primos son un conjunto especial de números que tienen solo 2 factores distintos: 1 y el número en sí. El número 11 es primo, por ejemplo, porque sus únicos factores son 1 y 11. El número 12, por otro lado, es un número compuesto (no primo), porque tiene 5 factores diferentes: 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Los matemáticos están interesados en los números primos porque representan los componentes básicos de todos los números que existen. Esto significa que cada número compuesto se puede representar como el producto de factores primos. Por ejemplo, 100 = 2 x 2 x 5 x 5. Las primas también son muy interesantes porque todavía hay mucho que aún no se sabe sobre ellas.

Un par de problemas y soluciones simples de la teoría de los números

Muchos problemas básicos de la teoría de números se relacionan con la factorización. A continuación se muestran un par de ejemplos:

Problema: tienes una cantidad de cookies. Puedes compartirlos entre 2 personas o 3 personas o 4 personas por igual. ¿Cuál es el número mínimo de cookies que puede tener para cumplir estas condiciones?

Solución: La respuesta es 12 porque 2, 3 y 4 son todos factores de 12, y 12 es el mínimo común múltiplo de esos números.

Problema: ¿Cuál de los siguientes números no se puede dividir en grupos iguales más pequeños: 5106, 5281 o 5751?

Solución: 5281 es un número primo, por lo que no se puede subdividir en grupos iguales más pequeños. Se puede encontrar mediante el proceso de eliminación. 5106 termina en un número par, por lo que debe ser divisible por 2. En el caso de 5751, la suma de sus dígitos (5 + 7 + 5 + 1 = 18) es divisible por tres, por lo que 5751 debe ser divisible por 3.

Aplicaciones de la teoría de números

Una de las aplicaciones más conocidas de la teoría de números es la criptografía, particularmente en línea. La criptografía moderna depende de la factorización prima de números extremadamente grandes. La teoría de números también ha contribuido en gran medida al desarrollo de la informática.

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