Secuencia aritmética

¿Qué es una secuencia aritmética?

Una secuencia aritmética es una secuencia infinita de números en la que la diferencia entre cada par de números consecutivos es siempre la misma. Por ejemplo, en la secuencia 1, 3, 5, 7, 9. . . la diferencia entre un número y el siguiente es siempre 2.

¿Cuál es la diferencia constante (d) entre dos números consecutivos cualesquiera en las siguientes secuencias?

-5, -3, -1, 1, 3, 5. . .
.5, 1, 1.5, 2. . .
10, 6, 2, -2. . .
En la primera secuencia, d = 2 porque puedes sumar 2 a cualquier número en la secuencia para obtener el siguiente número. Por ejemplo, -3 + 2 = -1 y 1 +2 = 3. En la segunda secuencia, d = .5. En la tercera secuencia, cada número es 4 menos que el número anterior, entonces d = -4.

La fórmula recursiva para una secuencia aritmética

Una forma de encontrar un número dentro de una secuencia es usar la fórmula recursiva. Para escribir la fórmula, usamos la siguiente notación:

a es un término en la secuencia.

n es el número de términos en la secuencia.

d es la diferencia constante entre términos.

Por tanto, an = an-1 + d

En otras palabras, para encontrar el quinto número en una secuencia con una diferencia constante de 6, necesitamos saber el cuarto número (an-1) y sumarle 6. Si se nos da la secuencia 5, 11, 17, 23 y necesitamos encontrar el siguiente número, podemos aplicar fácilmente esta fórmula sumando 6 a 23 y obteniendo 29. En otras palabras, si d = 6 y si an – 1 = 23, entonces

an = 23 + 6 = 29

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Secuencia aritmética
¿Qué es una secuencia aritmética?

Una secuencia aritmética es una secuencia infinita de números en la que la diferencia entre cada par de números consecutivos es siempre la misma. Por ejemplo, en la secuencia 1, 3, 5, 7, 9. . . la diferencia entre un número y el siguiente es siempre 2.

¿Cuál es la diferencia constante (d) entre dos números consecutivos cualesquiera en las siguientes secuencias?

-5, -3, -1, 1, 3, 5. . .
.5, 1, 1.5, 2. . .
10, 6, 2, -2. . .
En la primera secuencia, d = 2 porque puedes sumar 2 a cualquier número en la secuencia para obtener el siguiente número. Por ejemplo, -3 + 2 = -1 y 1 +2 = 3. En la segunda secuencia, d = .5. En la tercera secuencia, cada número es 4 menos que el número anterior, entonces d = -4.

La fórmula recursiva para una secuencia aritmética

Una forma de encontrar un número dentro de una secuencia es usar la fórmula recursiva. Para escribir la fórmula, usamos la siguiente notación:

a es un término en la secuencia.

n es el número de términos en la secuencia.

d es la diferencia constante entre términos.

Por tanto, an = an-1 + d

En otras palabras, para encontrar el quinto número en una secuencia con una diferencia constante de 6, necesitamos saber el cuarto número (an-1) y sumarle 6. Si se nos da la secuencia 5, 11, 17, 23 y necesitamos encontrar el siguiente número, podemos aplicar fácilmente esta fórmula sumando 6 a 23 y obteniendo 29. En otras palabras, si d = 6 y si an – 1 = 23, entonces

an = 23 + 6 = 29

La fórmula explícita para una secuencia aritmética

Sin embargo, si solo tenemos el primer número en una secuencia (a1), la fórmula explícita puede ser una forma más útil de encontrar otro número en la secuencia. Para comprender cómo se deriva la fórmula explícita, comencemos con la siguiente secuencia donde d = -7:

100, 93, 86, 79. . .

Para obtener el primer número, comenzamos con 100 y sumamos -7 cero veces. Entonces a1 = 100 + (-7 x 0). Para obtener el segundo número, restamos 7 una vez. Entonces a2 = 100 + (-7 x 1). El siguiente número de la serie es a3 = 100 + (-7 x 2), y así sucesivamente. Cada vez, sumamos -7 exactamente una vez menos que el número de términos en la secuencia. Por lo tanto, podemos escribir una fórmula general para expresar este patrón de la siguiente manera:

an = a1 + (n-1) x d

Si queremos encontrar, por ejemplo, el número 17 en una serie que comienza con 3 y tiene una diferencia constante de .5, podemos insertar esa información en la fórmula de esta manera:

a17 = 3 + (17-1) x .5 = 11

Exercicios prácticos

Problem 1: What is the constant difference (d) in the following sequence?

24, 32, 40, 48, 56 . . .

Solution: In this sequence d = 8 because we can add 8 to each number to get the next number.

Problem 2: What is the next number in the sequence above?

Solution: Using the recursive formula, we know that the 6th number (a6) is equal to the 5th number (a6-1) plus the constant difference (d). Since 56 + 8 = 64, the next number in the series is 64.

Problem 3: Write an explicit formula for the sequence in Problem 1 and use that formula to find the 11th number in the sequence.

Solution: Since an = 24 + (n-1) x 8, and n = 11, then a11 = 24 + (11-1) x 8 = 104.

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