Geometría y espacio

Esta es una versión traducida del artículo Geometry and Space de Henri Poincaré publicado en http://pratt.edu.

En un artículo que publiqué en la Revue General of Sciences, t. ii., p. 774, sobre el tema de la geometría no euclidiana, escribí las siguientes oraciones:

Los seres con una mente hecha como la nuestra, con los mismos sentidos que tenemos, pero sin ninguna educación previa, podrían recibir impresiones del mundo debidamente seleccionadas de tal manera que se les llevaría a construir una geometría diferente a la de Euclides y a localizar los fenómenos de ese mundo. mundo exterior en un espacio no euclidiano o incluso en un espacio de cuatro dimensiones.

Para nosotros, educados en este mundo actual, si fuéramos transportados repentinamente a ese mundo nuevo, no tendríamos dificultades para relacionar sus fenómenos con nuestro espacio euclidiano.

Un hombre que dedicó su vida a ello podría imaginarse una cuarta dimensión. (1)

No seguí esto con ninguna aclaración adicional y debe haber asombrado a varios lectores; Por lo tanto, me parece necesario desarrollar mi pensamiento y debo algunas explicaciones al público.

Espacio geométrico y espacio representativo

A menudo decimos que las imágenes de objetos externos se encuentran en el espacio, e incluso que solo bajo esa condición pueden formarse. También decimos que este espacio, que sirve así como un marco preparado de antemano para nuestras sensaciones y representaciones, es idéntico al de los geómetras y que posee las mismas propiedades.

Para todas las buenas personas que [piensan de esa manera], la oración citada anteriormente debe haber parecido bastante extraordinaria. Pero deberíamos ver si podrían no estar bajo la ilusión de que un análisis exhaustivo podría disipar.

Primero, ¿cuáles son, estrictamente hablando, las propiedades del espacio? Me refiero al espacio que es objeto de geometría y al que llamo espacio geométrico. Estos son algunos de los más esenciales:

  • Es continuo.
  • Es infinito.
  • Tiene tres dimensiones.
  • Es homogéneo, lo que quiere decir que todos sus puntos son idénticos entre sí.
  • Es isotrópico, es decir que todas las líneas rectas que pasan por un punto dado son idénticas entre sí.

Cuerpos sólidos y geometría

Entre los objetos que nos rodean, hay algunos que frecuentemente sufren desplazamientos susceptibles de corrección por un movimiento correlativo de nuestros propios cuerpos; Son los cuerpos sólidos.

Otros objetos, cuya forma es variable, solo excepcionalmente sufren desplazamientos similares (cambio de posición sin cambio de forma). Cuando un cuerpo se mueve y, al hacerlo, cambia su forma, ya no podemos, mediante movimientos apropiados, devolver nuestros órganos sensoriales a la misma situación relativa con respecto a ese cuerpo; por lo tanto, ya no podemos restablecer el conjunto original de impresiones.

Solo más tarde y después de una serie de nuevas experiencias, aprendemos a separar los cuerpos de forma variable en elementos más pequeños, de modo que cada uno de ellos se mueva de acuerdo con las leyes de movimiento de los cuerpos sólidos. Distinguimos así las «deformaciones» de otros cambios de estado; En estas deformaciones, cada elemento sufre un simple cambio de posición, que puede corregirse, pero la modificación del conjunto es más profunda y ya no puede corregirse mediante un movimiento correlativo.

Tal idea ya es muy compleja y solo podría haber aparecido relativamente tarde. Además, no podría haber surgido si la observación de cuerpos sólidos malos no nos hubiera enseñado a distinguir los cambios de posición.
Si, por lo tanto, no hubiera cuerpos sólidos en la naturaleza, no habría geometría.

Otro comentario también merece un momento de atención. Imaginemos un cuerpo sólido que primero ocupa la posición a y luego pasa a la posición b; en su primera posición, nos haría recibir un conjunto de impresiones A, y en su segunda posición, un conjunto de impresiones B. Ahora deje que haya un segundo cuerpo sólido que tenga cualidades completamente diferentes de la primera, por ejemplo, un color diferente. Ahora supongamos que pasa de la posición a, donde recibimos el conjunto de impresiones A ‘, a la posición b, donde recibimos el conjunto de impresiones B’.

En general, el conjunto A no tendrá nada en común con el conjunto A ‘, ni el conjunto B con el conjunto B’. El paso del conjunto A al conjunto B y el del conjunto A «al conjunto B» son, por lo tanto, dos cambios que en general no tienen nada en común.

Y, sin embargo, consideramos estos dos cambios como desplazamientos y, lo que es más, los consideramos como el mismo desplazamiento. ¿Cómo puede ser eso?

Es simplemente porque podemos corregir ambos por el mismo movimiento correlativo de nuestro cuerpo.
Por lo tanto, es el movimiento correlativo el que constituye el único vínculo entre dos fenómenos que, de lo contrario, no se nos hubiera ocurrido comparar.

Por otro lado, nuestros cuerpos, gracias a la cantidad de sus articulaciones y músculos, pueden pasar por una serie de movimientos diferentes; pero no todos son capaces de «corregir» una modificación de objetos externos; aquellos que solo son capaces de hacerlo en el que todo nuestro cuerpo, o al menos, todos los órganos de los sentidos involucrados, se mueven en bloque, es decir, como un cuerpo sólido sin variar sus posiciones relativas

En resumen:

  • Primero se nos lleva a distinguir dos categorías de fenómenos: algunos, involuntarios, no acompañados de sensaciones musculares, los atribuimos a objetos exteriores; Son cambios externos. Otros, cuyas cualidades son opuestas y que atribuimos a los movimientos de nuestro propio cuerpo, son cambios internos.
  • Notamos que ciertos cambios en cada una de estas categorías pueden corregirse mediante un cambio correlativo en la otra categoría.
  • Distinguimos, entre los cambios externos, aquellos que también tienen un correlativo en la otra categoría; llamamos a estos desplazamientos; y similar entre los cambios internos distinguimos aquellos que tienen un correlativo en la primera categoría.

Así, hemos definido, gracias a esta reciprocidad, una clase particular de fenómenos que llamamos desplazamientos. Las leyes de estos fenómenos son el objeto de la geometría.

La ley de la homogeneidad

La primera de estas leyes es la de la homogeneidad. Supongamos que, por un cambio externo a, debemos pasar de un conjunto de impresiones A a un conjunto B, luego que este cambio fue corregido por un movimiento correlativo voluntario b tal que nos devolvieron al conjunto A. Supongamos ahora que otro cambio externo a ‘nos hizo pasar nuevamente del conjunto A al conjunto B.

La experiencia nos enseña que este cambio a ‘es, como a, susceptible de corrección por un movimiento voluntario b’, y que este movimiento voluntario b ‘corresponde a las mismas sensaciones musculares que el movimiento b que corrigió a. Es este hecho el que normalmente tenemos en mente cuando decimos que el espacio es homogéneo e isotrópico.

También podemos decir que un movimiento que ocurre una vez puede repetirse una segunda vez, una tercera vez, y así sucesivamente, sin variar sus propiedades.

Aquellos lectores que conozcan el artículo que escribí en esta revista sobre la naturaleza del razonamiento matemático quizás recordarán la importancia que atribuyo a la posibilidad de repetir indefinidamente una sola operación.

Es a partir de este ensayo que el razonamiento matemático saca su fuerza; es gracias a la ley de homogeneidad que ha tomado de hechos geométricos.

Para completar, debemos anexar a la ley de homogeneidad una serie de otras leyes análogas en cuyos detalles no deseo entrar, pero que los matemáticos incluyen en una sola palabra diciendo que los desplazamientos forman un «grupo».

El número de dimensiones

Siento más dificultades para explicar mi pensamiento sobre el origen de la noción de punto y el número de dimensiones: es marcadamente diferente de las opiniones generalmente aceptadas y no es fácil expresarlo en un lenguaje ordinario.

Entendemos los desplazamientos en términos del paso de un conjunto de impresiones A a un conjunto diferente b; pero entre estos desplazamientos distinguimos algunos de tal manera que el conjunto inicial A y el conjunto final B conservan ciertas cualidades comunes. No deseo entrar en más detalles ni tratar de determinar exactamente en qué consisten estas cualidades comunes.

Me satisface observar que nos llevan a distinguir ciertos desplazamientos especiales de modo que podamos decir que dejan fijo uno de los puntos del espacio.

Ese es el origen de la idea del punto.

El conjunto de todos los desplazamientos constituye lo que llamamos un grupo; El conjunto de esos desplazamientos que dejan fijo un punto de espacio constituye un parcial o subgrupo.

Es en la relación de este grupo y subgrupo que debemos buscar la explicación del hecho de que el espacio tiene tres dimensiones.

El total del grupo es del orden 6, es decir, cualquier desplazamiento puede considerarse como una combinación de seis movimientos elementales e independientes.

El subgrupo es del orden 3, es decir, cualquier desplazamiento que pertenezca a este subgrupo o, en otras palabras, cualquier desplazamiento que deje un punto fijo en el espacio, puede considerarse una combinación de tres movimientos elementales e independientes.

La diferencia 6 – 3 representa el número de dimensiones.

El mundo no euclidiano

Si el espacio geométrico fuera un marco impuesto en cada una de nuestras sensaciones, considerado individualmente, sería imposible representar una imagen despojada de ese marco, y no podríamos cambiar nada en nuestra geometría.

Pero ese no es el caso; la geometría es solo el resumen de las leyes de acuerdo con las cuales las imágenes se suceden. Nada impide que imaginemos una serie de representaciones, en todos los sentidos, similares a nuestras representaciones ordinarias, pero que se suceden unas a otras de acuerdo con leyes diferentes a las que estamos acostumbrados.

Por lo tanto, podemos concebir que los seres cuya educación tuvo lugar en un entorno donde estas leyes no funcionaban podrían tener una geometría muy diferente a la nuestra.

Imaginemos, por ejemplo, un mundo encerrado en una gran esfera y sujeto a las siguientes leyes:

La temperatura no es uniforme; es máxima en el centro y disminuye en proporción a medida que nos alejamos, reduciéndose a cero absoluto cuando llegamos a la esfera en la que está encerrado el mundo.

Especificaré además la ley precisa según la cual varía la temperatura. Sea R el radio de la esfera limitante; Sea r la distancia desde un punto dado al centro de esta esfera. La temperatura absoluta será proporcional a R²- r².

Supongo, además, que en este mundo, todos los cuerpos tienen el mismo coeficiente de expansión, de modo que la longitud de cualquier regla será proporcional a la temperatura absoluta.

Finalmente, supondré que un objeto transportado de un punto a otro cuya temperatura es diferente, inmediatamente asume el equilibrio calorífico en su nuevo entorno.

Nada en estas hipótesis es contradictorio o inimaginable.

Un objeto móvil se volverá cada vez más pequeño a medida que se acerque a la esfera limitante.

Primero observemos que aunque este mundo está limitado desde el punto de vista de nuestra geometría habitual, parecerá infinito a sus habitantes.

De hecho, cuando desean acercarse a la esfera limitante, se enfrían y se hacen cada vez más pequeños. Por lo tanto, los pasos que toman también son cada vez más pequeños, de modo que nunca pueden alcanzar la esfera limitante.

Si, para nosotros, la geometría es solo el estudio de las leyes por las cuales se mueven los sólidos invariables, para estos seres imaginarios, sería un estudio de las leyes por las cuales los sólidos se mueven deformados por las diferencias de temperatura que acabo de mencionar.

Es cierto que en nuestro mundo los sólidos naturales también se someten a variaciones de forma y volumen debido a golpes y enfriamiento. Pero descuidamos estas variaciones al sentar las bases de la geometría, ya que además de ser muy débiles, son irregulares y, en consecuencia, nos parecen accidentales.

En este mundo hipotético, este no sería el caso, y estas variaciones seguirían leyes regulares y simples.

Además, las diversas partículas sólidas que componen los cuerpos de los habitantes también sufrirían las mismas variaciones, de forma y volumen.

Agregaré una hipótesis más. Asumiré que la luz cruza diversos medios de refracción de tal manera que el índice de refracción es inversamente proporcional a R² – r². Es fácil ver que en estas condiciones, los rayos de luz no serían rectilíneos sino circulares.

Para justificar lo anterior, queda por demostrar que ciertos cambios que ocurren en la posición de los objetos exteriores podrían corregirse mediante movimientos correlativos de los seres sensoriales que habitan este mundo imaginario; y de tal manera que restaure el grupo original de impresiones sentidas por estos seres sensoriales.

Supongamos que un objeto se mueve, mientras cambia de forma, no como un sólido invariable, sino como un sólido que sufre dilataciones desiguales de acuerdo con la ley de temperatura que propuse anteriormente. Permítame, en interés del lenguaje sucinto, llamar a tal movimiento un desplazamiento no euclidiano.

Si un ser sensorial estuviera en el área, sus impresiones serían modificadas por el desplazamiento del objeto, pero podría restablecerlas haciendo movimientos adecuados. Es suficiente que finalmente el objeto y el ser sensorial, considerado como la formación de un solo cuerpo, hayan sufrido uno de esos desplazamientos particulares que acabo de llamar no euclidianos.

Aunque desde el punto de vista de nuestra geometría habitual, los cuerpos se deforman en este desplazamiento y sus diversas partes ya no están en la misma posición relativa, sin embargo, veremos que las impresiones de ese ser sensorial han vuelto a ser las mismas.

De hecho, aunque las distancias mutuas de las diversas partes podían variar y variaron, las partes originalmente en contacto han vuelto a entrar en contacto. Por lo tanto, las impresiones táctiles no han cambiado.

Además, teniendo en cuenta la hipótesis expuesta anteriormente en cuanto a la refracción y la curva de los rayos de luz, las impresiones visuales también habrán permanecido igual.

Así, estos seres imaginarios serán guiados como nosotros a clasificar los fenómenos que presencian y distinguir entre ellos aquellos «cambios de posición» que son susceptibles de corrección por un movimiento correlativo voluntario.

Si encontraran una geometría, no sería como la nuestra, el estudio de los movimientos de nuestros sólidos invariables, sería el de los cambios de posición que así habrán distinguido, y que no son otro que el «no -Desplazamientos euclidianos «; será geometría no euclidiana.

Por lo tanto, seres como nosotros, educados en un mundo así, no tendrían la misma geometría que nosotros.

El mundo de cuatro dimensiones

De la misma manera que un mundo no euclidiano, podemos representar un mundo que tiene cuatro dimensiones.
El sentido de la vista, incluso con un solo ojo, unido a sensaciones musculares en relación con los movimientos del globo ocular podría ser suficiente para que conozcamos un mundo tridimensional.

Las imágenes de objetos exteriores vienen y se pintan en la retina, que es una tabula bidimensional; Estas son perspectivas.

Pero, dado que estos objetos son móviles, y dado que lo mismo es cierto para nuestro ojo, vemos sucesivamente diferentes perspectivas del mismo cuerpo, tomadas desde varios puntos de vista diferentes. Al mismo tiempo, notamos que el paso de una perspectiva a otra suele ir acompañado de sensaciones musculares.

Si el pasaje de la perspectiva A a la perspectiva B y el de la perspectiva A ‘a la perspectiva B’ van acompañados de las mismas sensaciones musculares, consideramos que son operaciones del mismo tipo.

Después de estudiar las leyes según las cuales se combinan estas operaciones, reconocemos que forman un grupo que tiene la misma estructura que la de los movimientos de sólidos invariables.

Ahora, hemos visto que es a partir de las propiedades de este grupo que hemos deducido las nociones geométricas y de tres dimensiones.

Así entendemos cómo la idea de un espacio tridimensional pudo surgir del espectáculo de estas perspectivas, aunque cada una de ellas tiene solo dos dimensiones, porque se suceden de acuerdo con ciertas leyes.

De la misma manera que podemos hacer en un plano la perspectiva de una figura que tiene tres dimensiones, podemos hacer la de una figura de cuatro dimensiones en una tabla con tres (o dos) dimensiones. Es solo un juego para el geométrico.
Incluso podemos tomar de una sola figura varias perspectivas desde varios puntos de vista diferentes.

Podemos representar fácilmente estas perspectivas ya que tienen solo tres dimensiones.

Imaginemos que las diversas perspectivas de un solo objeto se suceden; que el paso de uno a otro va acompañado de sensaciones musculares.

Naturalmente consideraremos dos de estos pasajes como dos operaciones del mismo tipo cuando se asocian con las mismas sensaciones musculares.

Entonces, nada nos impide imaginar que estas operaciones podrían combinarse siguiendo cualquier ley que deseemos, por ejemplo, de tal manera que forme un grupo que tenga la misma estructura que la de un sólido tetradimensional invariable.

En todo esto no hay nada que no podamos representar y, sin embargo, estas sensaciones son precisamente las que sentiría un ser equipado con una retina bidimensional si pudiera moverse en un espacio tetradimensional.

Es en este sentido que podemos decir que podemos representar la cuarta dimensión.

Conclusiones

Decimos que la experiencia juega un papel indispensable en la génesis de la geometría; pero sería un error concluir que la geometría es una ciencia experimental, incluso en parte.

Si fuera experimental, sería solo aproximado y provisional. ¡Y qué aproximación tan cruda!

La geometría solo sería el estudio de los movimientos de los sólidos; pero en realidad no le interesan los sólidos naturales, tiene como objeto ciertos sólidos ideales, absolutamente invariables, que son solo una imagen simplificada y muy distante de los naturales.

La noción de cuerpos ideales se extrae completamente de nuestras mentes y la experiencia es solo una ocasión que nos invita a construir tal noción.

El objeto de la geometría es el estudio de un «grupo» particular; pero el concepto general de grupo preexiste en nuestras mentes, al menos potencialmente. Se nos impone, no como una forma de sensibilidad, sino como una forma de comprensión.

Aún así, entre todos los grupos posibles, debemos elegir aquel que será, por así decirlo, el estándar al que nos referiremos los fenómenos naturales.

La experiencia nos guía en esta elección que no nos impone; nos hace reconocer no cuál es la geometría más verdadera, sino cuál es la más conveniente. Se notará que he podido describir los mundos fantásticos que imaginé arriba sin dejar de usar el lenguaje de la geometría ordinaria.

De hecho, no deberíamos tener que cambiar nada si fuéramos transportados a un mundo así.

Los seres educados allí sin duda encontrarían más conveniente crear una geometría diferente a la nuestra, mejor adaptada a sus impresiones. En cuanto a nosotros, ante las mismas impresiones, es seguro que nos resultaría más conveniente no cambiar nuestros hábitos.

Notas:

(1) Esta selección apareció por primera vez como un artículo, «L’Espace et la géométrie», en Revue de métaphysique et de morale, 1895 t.iii, pp. 631-46. Fue especialmente traducido para este volumen por William Ryding del Departamento de Francés, Universidad de Columbia.

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