Llibre II

I - II - III - IV - V - VI - VII - VIII - IX - X


 

A partir d´això queda clar que la línia tampoc es compon de punts i per això caldrà la majoria dels mateixos arguments.

 

I

Així, el punt quedarà necessàriament tallat quan es talli en parts iguals la recta composta d´un nombre imparell de parts o en parts desiguals la composta d´un nombre parell de parts.

 

II

I també és necessari que una part d´una recta no sigui una recta, ni tampoc que una part del pla sigui un pla.

 

III

I també seria necessari que existís una línia major que una línia en un punt, ja que la podrà excedir en allò del que es compon. (Que això és impossible queda clar a partir del que contenen les obres matemàtiques; i a més, passarà que un objecte transportat creuarà el punt en un temps, si vol recórrer la distància major en un temps major i la igual en un temps igual; i tot això si és que l´excés en el temps és temps. Però potser també el temps està format de "ara" i afirmar les dues coses correspon al mateix discurs. Si efectivament l´ara fos el principi i l´extrem del temps i el punt ho fos de la línia -i no cap que el principi i l´extrem siguin continus, sinó que hi ha alguna cosa al mig- no existirien ni els "ara" ni els punts continus per sí mateixos.)

 

IV

A més a més, la línia és una magnitut i la suma dels punts no forma cap magnitut, ja que no ocupa un espai més gran. De manera que, si a una línia li afegim i li apliquem una línia, no resulta una amplada major. I si els punts estan dins de la línia, els punts no ocuparien un espai major, de manera que no formarien una magnitut.

 

V

A més a més, si en un "tot" totes les coses toquen o bé la cosa sencera a la cosa sencera o bé una part en toca una altra, o bé el tot toca a una part i si el punt està mancat de parts, el contacte seria complet. Seria necessari que la cosa sencera tocada per la cosa sencera fos una sola cosa. Però si una de les coses és una cosa que l´altra no és, aleshores la cosa sencera no seria tocada per la cosa sencera. I a la vegada, si les coses sense parts existeixen, diverses coses ocupen el mateix espai que ocupava abans una sola cosa. Ja que és propi de les coses que existeixen simultàneament i mancades d´amplada per sí mateixes, que ambdues ocupin el mateix espai. I si el que no té parts no té dimensions, de manera que no existiria una magnitut continua composta de coses sense parts. Aleshores tampoc la línia es composa de punts ni el temps d´ares.

 

VI

     I a més a més, si és possible que es compongui de punts, el punt tocarà al punt. Per tant, si des del punt K es dibuixen les rectes AB i GD, tocaran a K tant el punt que hi ha a AK com el que hi ha a KD de manera que es tocaran ambdós entre si, ja que el que no té parts tot sencer toca també sencer allò que no té parts. De manera que ocuparà el mateix lloc de K i estaran en contacte mutu els punts que ocupen el mateix lloc. I si estan en el mateix lloc també estan en contacte, ja que és necessari que les coses que hi són, les primeres en el mateix lloc es toquin i, si és així, una recta toca a una recta en dos punts, de manera que la recta AK toca a la recta GD en diferents punts. El mateix raonament s´aplicaria també si es tractés no pas de dues rectes, si no d´un nombre qualsevol de rectes que es toquessin entre si.
     I a més a més, també la circumferència del cercle tocaria a la tangent en diferents punts, ja que el punt de contacte, tant el que hi ha a la circumferència com el que hi ha a la tangent es tocarien entre si. I si això no és possible, aleshores tampoc és possible que un punt toqui a un punt; i si no és possible que es toquin, aleshores tampoc és possible que la línia estigui feta de punts, ja que d´altra manera seria necessari que es toquessin.

 

VII

Ia més a més, com serà aleshores allò de la línia recta i la corba? En res difereix el contacte dels punts a la recta i a la corba. Ja que el que no té parts tot sencer toca sencer a allò que no té parts, i no és possible que es toquin de manera diferent; per tant, si les línies són diferents i el contacte és indiferent, no hi pot haver una línia que es compongui del contacte i, per tant, de punts tampoc.

 

VIII

A més a més, és necessari que els punts entre si o bé es toquin o bé no es toquin; i si per força toquen l´adjacent, serà el mateix raonament.
     Però si es dóna que hi ha un adjacent al que no toca, el que anomenem continu no té res de diferent del compost de coses que es toquen, de manera que també és necessari que els punts es toquin entre si o que la línia no sigui contínua.

 

IX

A més a més, si és absurd que hi hagi un punt al costat d´un punt perquè existeixi la línia i al costat d´un punt perquè la línia sigui un pla, és impossible que es doni el que diem.
     Ja que si els punts estan a continuació l´un de l´altre, la línia no quedarà tallada en cap dels punts, sinó entremig d´ells. I si es toquen, la línia serà el lloc d´un punt: però això és impossible.

 

X

I a més a més, totes les coses es dividirien i es podrien analitzar en punts, i el punt seria una part del volum, si és que el volum està format de plans i el pla de línies i les línies de punts. Però si cada cosa està composta de les primeres que hi ha en elles, aquestes són elements del volum. De manera que els elements serien sinònims i no pas diversos en espècie.
     És evident, a partir del que s´ha dit, que la línia no es compon de punts; però tampoc és possible fer desaparèixer el punt de la línia; ja que si cal fer-lo despararèixer, també és possible afegir-lo. I una vegada afegit, allò a la qual cosa hagi estat afegit serà major que la cosa del principi, si és que la cosa afegida era de l amateixa classe que formava una unitat sencera. Aleshores hi haurà una línia major que una línia en un punt: però això és impossible. Ara bé, no és possible, referent al punt, però potser casualment d´una línia es resti un punt, perquè formarà part de la línia restada. Ja que si treient alguna cosa sencera també es treuen el seu inici i el seu extrem i l´inici i l´extrem d´una línia era un punt, i si també es treu d´una línia una línia, també es podria treure un punt. Aquesta és la resta casual. I si l´extrem toca allò que és extrem, o allò mateix o a alguna de les seves parts, i el punt, que és l´extrem d´una línia, la toca, la línia serà major que la línia en un punt, i el punt estarà format de punts, ja que no hi pot haver res entre dues coses que es toquin.
     El mateix raonament s´utilitzaria en el cas de la secció si la secció ho és d´un punt i la secció toca a alguna cosa, i el mateix en el cas dels volums i en el cas del pla: de la mateixa manera el volum es compon de plans i el pla de línies.

 

© Copyright 2006 JDL