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Libro II

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A partir de esto queda claro que la línea tampoco se compone de puntos y para eso convienen la mayoría de los mismos argumentos.

 

I

Así, el punto quedará necesariamente cortado cuando se corte en partes iguales la recta compuesta de un número impar de partes o en partes desiguales la compuesta por un número par de partes.

 

II

Y también es necesario que una parte de una recta no sea una recta, ni tampoco que una parte del plano sea un plano.

 

III

Y también sería necesario que existiera una línea mayor que una línea en un punto, ya que la podrá exceder en aquello de lo que se compone. (Que esto es imposible queda claro a partir de lo que contienen las obras matemáticas; y además, pasará que un objecto transportado cruzará el punto en un tiempo, si es que va a recorrer la distancia mayor en un tiempo mayor y la igual en un tiempo igual; y eso si es que el exceso en el tiempo es tiempo. Pero quizá también el tiempo está formado por los «ahora» y afirmar ambas cosas corresponde al mismo discurso. Si efectivament el «ahora» fuera el principio y el extremo del tiempo y el punto lo fuera de la línea -y no cabe que el principio y el extremo sean continuos, sino que hay alguna cosa entre medias- no existirían ni los «ahora» ni los puntos continuos por sí mismos.)

 

IV

Además, la línea es una magnitud y la suma de los puntos no forma ninguna magnitud, ya que no ocupa un espacio más grande. De manera que, si a una línea se le añade y se le aplica una línea, no resulta una anchura mayor. Y si los puntos están dentro de la línea, los puntos no ocuparían un espacio mayor, de manera que no formarían una magnitud.

 

V

Además, si en un «todo» todas las cosas tocan o bien la cosa entera a la cosa entera o bien una parte toca a otra, o bien el todo toca a una parte y si el punto carece de partes, el contacto sería completo. Sería necesario que la cosa entera tocada por la cosa entera fuera una sola cosa. Pero si una de las cosas es una cosa que la otra no es, entonces la cosa entera no sería tocada por la cosa entera. Y a su vez, si las cosas sin partes existen, varias cosas ocupan el mismo espacio que ocupaba antes una sola cosa. Puesto que es propio de las cosas que existen simultáneamente y carecen de anchura por sí mismas, que ambas ocupen el mismo espacio. Y si lo que no tiene partes no tiene dimensiones, de manera que no existiría una magnitud continua compuesta de cosas sin partes. Entonces tampoco la línea se compone de puntos ni el tiempo de «ahoras».

 

VI

     Y además, si es posible que se componga de puntos, el punto tocará al punto. Por tanto, si desde el punto K se dibujan las rectas AB y GD, tocarán a K tanto el punto que hay en AK como el que hay en KD de manera que se tocarán ambos entre sí, ya que lo que no tiene partes entero toca también entero a lo que no tiene partes. De manera que ocupará el mismo lugar de K y estarán en contacto mutuo los puntos que ocupan el mismo lugar. Y si están en el mismo lugar también están en contacto; puesto que es necesario que las cosas que están las primeras en el mismo lugar se toquen y, si es así, una recta toca a una recta en dos puntos, de manera que el punto que hay en AK toca al punto que hay en KG y a otro punto, de manera que la recta AK toca a la recta GD en varios puntos. El mismo razonamiento se aplicaría también si se tractara no de dos rectas, sino de un número cualquiera de ellas que se tocaran entre sí.
     Y además, también la circunferencia del círculo tocaría a la tangente en varios puntos, ya que el punto de contacto, tanto el que hay en la circunferencia como el que hay en la tangente se tocarían entre sí. Y si eso no es posible, entonces tampoce es posible que un punto toque a un punto; y si no es posible que se toquen, entonces tampoco es posible que la línea esté hecha de puntos, ya que de otra manera sería necesario que se tocaran.

 

VII

Y además, ¿cómo será entonces lo de la línea recta y la línea curva? En nada diferirá el contacto de los puntos en la recta y en la curva. Ya que lo que no tiene partes entero toca entero a lo que no tiene partes, y no cabe que se toquen de manera diferente; por lo tanto, si las líneas son distintas y el contacto es indiferente, no habrá una línea que se componga del contacto y, por lo tanto, de puntos tampoco.

 

VIII

Además, es necesario que los puntos entre si o bien se toquen o bien no se toquen; y si por fuerza tocan al adyacente, será el mismo razonamiento.
     Pero si cabe que haya uno adyacente al que no toca, lo que llamamos continuo no es nada distinto de lo compuesto de cosas que se tocan, de manera que también es necesario que los puntos se toquen entre sí o que la línea no sea continua.

 

IX

Además, si es absurdo que haya un punto al junto a un punto para que exista la línea y junto a un punto para que la línea sea un plano, es imposible que se dé lo dicho.
     Ya que si los puntos están a continuación el uno del otro, la línea no quedará cortada en ninguno de los puntos, sino entre medio de ellos. Y si se tocan, la línea será el lugar de un punto: pero eso es imposible.

 

X

Y además, todas las cosas se dividirían y se podrían analizar en puntos, y el punto sería una parte del cuerpo, si es que el cuerpo está formado de planos y el plano de líneas y las líneas de puntos. Pero si cada cosa está compuesta de las primeras que hay en ellas, ésos son sus elementos, y los puntos serían elementos de los cuerpos. De manera que los elementos serían sinónimos y no diversos en especie.
     Es evidente, a partir de lo que se ha dicho, que la línea no se compone de puntos; pero tampoco es posible hacer desaparecer el punto de la línea; ya que si cabe hacerlo desaparecer, también es posible añadirlo. Y una vez añadido, aquello a lo que fue añadido será mayor que lo del principio, si es que la cosa añadida era de la misma clase y formaba una unidad entera. Luego habrá una línea mayor que una línea en un punto: pero eso es imposible. Ahora bien, no es posible, en cuanto al punto en sí, pero cabe que casualmente de una línea se reste un punto, porque formara parte de la línea restada. Ya que si al quitar algo entero también se quitan su principio y su extremo y el principio y el extremo de una línea era el punto, y si también cabe quitar de una línea una línea, también cabría quitar un punto. Esta es la resta casual. Y si el extremo toca aquello de lo que es extremo, a ello mismo o a alguna de sus partes, y el punto, que es extremo de una línea, la toca, la línea será mayor que la línea en un punto, y el punto estará formado de puntos, ya que no puede haber nada entre dos cosas que se tocan.
     El mismo razonamiento se utilizaría en el caso de la sección si la sección lo es de un punto y la sección toca a algo, y lo mismo en el caso del sólidos y en el caso del plano: de la misma manera el sólido se compone de planos y el plano de líneas.

 

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