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Libro I

Existen acaso las líneas indivisibles?.
Y hay en todas las magnitudes, en general,
alguna cosa sin partes, tal como aseguran algunos?


I - II - III - IV - V

I - II - III - IV - V

I - II - III - IV - V - VI

I - II - III - IV - V - VI - VII - VIII - IX - X - XI


 

 

 

 

I

Así pues, si se da de manera semejante «mucho» y «grande» y los opuestos que son «poco» y «pequeño» y, por otro lado, lo que tiene divisiones casi infinitas no es «poco», sino «mucho», es evidente que «poco» y «pequeño» tendrán divisiones finitas. Y si sus divisiones son finitas, es necesario que exista una magnitud sin partes, de manera que en todas las magnitudes habrà alguna sin partes, dado que en todas hay «poco» i «pequeño».

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II

Además, si existe la idea de «línea» y la idea es la primera de las de su nombre y las «partes» son previas al «todo» por su naturaleza, esta línea sería indivisible, de la misma manera que el cuadrado, el triángulo y el resto de figuras y, en general, el propio plano y el cuerpo. Ocurrirá que aquéllas son previas a éstas.

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III

Además, si existen los elementos de un sólido y no hay nada previo a los elementos y las partes son previas al todo, el fuego sería indivisible y, en general, lo seria cada uno de los elementos del sólido, de manera que existe alguna cosa sin partes no sólo en los inteligibles sino también en los sensibles.

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IV

Además, según el argumento de Zenón, es necesario que exista una magnitud sin partes, si es que es imposible tocar en un tiempo finito un número infinito de cosas tocadas una por una; y es necesario que lo que se mueve llegue primero a la mitad; y de lo que tiene partes, sin duda existe la mitad. En este caso, si lo que es transportado sobre la línea también toca un número infinito de cosas en un tiempo finito y lo más rápido también consigue más en el mismo tiempo y el movimiento del pensamiento es lo más rápido, entonces el pensamiento tocaría uno por uno un número infinito de cosas en un tiempo finito; de esta manera, si en el pensamiento tocar las cosas una por una es contar, se admite como posible contar el infinito en un tiempo finito: y si eso es imposible, existiría una línia indivisible.

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V

Además, también a partir de lo que aseguran los que se ocupan de las matemáticas existiría una línea indivisible, según dicen; si "conmensurables" (Elements, libro X, definición 1) son las que se miden con la misma medida, son conmensurables todas las que se miden, por tanto existiría una longitud con la que se miden todas. Y esta longitud por fuerza ha de ser indivisible, ya que si fuera divisible también sus partes tendrían una medida, de manera que  son conmensurables con el todo. De esta manera su mitad sería el doble de una parte. Pero dado que esto es imposible, sería una medida indivisible.
     Así pues, se componen de elementos sin partes tanto las líneas medidas una sola vez por esta medida como todas las líneas compuestas de la medida. Lo mismo pasa en el caso de las figuras planas. Todas las compuestas por rectas racionales (Elements, Libro X, definición 3) serán conmensurables entre sí, de manera que la medida de éstas no tiene partes. Pero si una medida es cortada de acuerdo con una línea fijada y determinada, esta línea no será ni racional ni irracional -ni ninguna de aquellas de las que se ha hablado, como la apótoma o la binomial- sino que ni tan solo por sí mismas tendrán características naturales; al contrario, serán entre sí racionales e irracionales.

 

 

 

 

I  

Ahora bien, en primer lugar, no es necesario que lo que admite divisiones infinitas no pueda ser «pequeño» y «poco». De hecho, llamamos «pequeño» al espacio, a la magnitud y, en general a lo continuo -incluso en los casos en los que conviene el calificativo de «poco»- y sin embargo decidimos que tienen infinitas divisiones.
     Además, si hay líneas indivisibles en la longitud compuesta, «pequeño» se dice en relación con estas indivisibles y en ellas hay infinitos puntos. En tanto que línea, admite una división por un punto, y de la misma manera por cualquier otro punto. Por lo tanto, cualquier línea que no fuera indivisible tendría infinitas divisiones. Algunas de estas son pequeñas. Y las razones son infinitas y es posible cortar cualquier recta que no sea indivisible según la razón dada.
     Además, si lo «grande» se compone de diferentes cosas pequeñas, o bien «grande» no significará nada o bien «grande» consistirá en tener divisiones finitas; de hecho, de manera semejante lo «entero» tiene las divisiones de sus partes. Pero es irracional que lo «pequeño» tinga divisiones finitas y lo «grande» infinitas: esto opinan.
     De este modo es evidente que no se llamaría «grande» y «pequeño» por la raón de tener divisiones finitas o infinitas. Y si alguien cree que porque en los números lo «poco» tiene divisions finitas, también tendrá las divisiones finitas a las líneas lo «pequeño», es que es tonto. De hecho, en el caso de los números enteros, el origen proviene de cosas sin partes y existe alguna cosa que es el principio de los números; y todo lo que no es infinito tiene divisiones finitas. Pero en el caso de les magnitudes no es lo mismo.

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II  

Por otro lado, los que proponen que las líneas indivisibles están en las Ideas, toman quizás como axioma de lo precedente el argumento menos valioso, a saber: suponer que existen Ideas de estas cosas: y, en cierta manera, anulan el razonamiento mediante aquello que demuestran. Y es que con estos razonamientos se anulan las Ideas.

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III  

A su vez, es estúpido considerar que lo que no tiene partes se encuentra entre los elementos corpóreos. Aunque algunos demuestren que es así, utilizan como argumento para la investigación propuesta lo mismo que toman como principio y sobretodo, que cuando más parece que utilizan el principio, más parece que el cuerpo y la longitud son divisibles en volúmenes y en longitudes.

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IV

Y el razonamiento de Zenón no prueba que en un tiempo finito lo que se mueve toque infinitas cosas así, en este sentido. Pues infinito y finito se dice del tiempo y de la longitud y tienen las mismas divisiones.
     Y a su vez, el hecho de que el pensamiento toque una por una las infinitas cosas no es contar, si es que alguien cree que el pensamiento toca así las infinitas cosas, lo cual es quizás imposible, pues el movimiento del pensamiento no transcurre, como el de las cosas movidas, entre sujetos continuos.
     Y si, de hecho, cabe que se mueva así, eso no es contar, ya que contar se acompaña de pausas. Pero quizá sea irracional que se sometan a su debilidad los que no han tenido fuerza para resolver el razonamiento y se engañen a sí mismos con engaños más grandes que refuerzan su incapacidad.

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V  

Enlo referente a las líneas conmensurables, el hecho de que todas sean medidas por una cierta y única medida es un argumento completamente sofísticado y totalmente en contra de las hipótesis matemáticas, que ni plantean esta hipótesis ni tampoco les es útil. A su vez, es contradictorio incluso, pensar que cualquier recta es conmensurable y que existe una medida común a todas las conmensurables.
     De modo que es ridículo, después de asegurar que se demostrarán las opiniones de los matemáticos y los fundamentos en los que se basan, desviar el discurso hacia lo erístico y sofístico y de manera tan débil. Y es débil en muchos sentidos tanto por escapar de las paradojas como de las refutaciones.
     Además, por un lado sería irracional que por causa del argumento de Zenón, que establece que algunas líneas son indivisibles, nos desviemos del razonamiento correcto por no argumentar en contra. Por otro lado, es fácil dejarse seducir por el argumento del movimento de la recta que genera un semicírculo, que es necesario si llega hasta los puntos infinitos que hay entre los arcos y los radios; y lo mismo pasa cuando genera un círculo, porque por fuerza tiene que moverse de un punto a otro si se mueve siguiendo el semicírculo; y por los demás teoremas que se han estudiado en relación a las líneas, que no es posible admitir que existe un movimento semejante si no cae primero sobre cada uno de los puntos intermedios. De hecho, estos argumentos son más aceptables que el primero.

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      De manera que, a partir de los razonamientos expresados, es evidente que no es necesaria ni creíble la existencia de rectas indivisibles. Y con los argumentos que ahora se exposen aún será más evidente. En primer lugar, por lo que demuestran y proponen los tractados matemáticos ya que, o bien se admiten los razonamientos  o se rechazan con argumentos convincentes.

I

Y es que ni la definición de «línea» ni de «recta» concordarán con la definición de «indivisible» ya que ni está entre «nada» ni tiene «mitad». (Elementos, Libro I, definición 3)

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II

Además, todas las líneas serán conmensurables ya que todas serán medidas por las indivisibles, tanto las conmensurables en longitud como las conmensurables en cuadrado (Elementos, Libro X, definición 3). Y las indivisibles serán todas las conmensurables en longitud, dado que son iguales; de manera que también serán conmensurables en cuadrado. Y si es así, el cuadrado será siempre racional.

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III

Además, si la recta aplicada a la mayor produce determinada anchura el paralelogramo igual al cuadrado de la indivisible -tómese como tal una recta de un pie de largo- aplicado al doble de esa recta, producirá una anchura menor que la indivisible; entonces esta anchura será menor que la indivisible.

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IV

Además, si un triángulo está compuesto por tres rectas dadas, también se compondrá de indivisibles. Pero en todo equilátero la perpendicular cae sobre un punto medio, de tal manera que también cae sobre el punto medio de la indivisible.

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V

Además, si existe el cuadrado de las indivisibles, dibujada la diagonal y la perpendicular a ella, el cuadrado que tenga por lado una recta indivisible, será igual al cuadrado que tenga por lado la perpendicular más la mitad de la diagonal, de manera que no es la recta más pequeña posible.

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VI

Y tampoco el área del cuadrado de la diagonal será el doble del cuadrado de la indivisible. Dado que una vez restada la parte igual, la recta que queda será menor que la indivisible; y si fuera igual, la diagonal daría de resultado un cuadrado que sería el cuádruple.
     Se podrían reunir muchas otras objeciones semejantes ya que la teoría de la existencia de les líneas indivisibles se opone a todo lo que hay en las obras matemáticas.

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I

Al mismo tiempo, la indivisible tiene una forma de contacto, mientras que la línea tiene dos, ya que la línea puede estar en contacto toda ella con otra línea entera y con los extremos enfrentados.

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II

Además, una línea indivisible unida a una línea no hace que la línea sea mayor ya que las cosas indivisibles unidas no hacen una cosa mayor.

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III

Además, si a partir de dos indivisibles no surge ningún continuo ya que todo lo continuo admite múltiples divisiones y toda la línea es contínua excepto la indivisible, no existiría la línea indivisible.

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IV

Además, si cualquier línea excepto la indivisible se puede dividir en partes iguales y desiguales, aun si hubiera una línea compuesta de tres indivisibles y, en general, de un número impar de indivisibles, la indivisible sería divisible. Y al mismo tiempo pasa si se corta en partes iguales. Ya que se puede cortar cualquier línea compuesta de un número impar de indivisibles.
     Pero si no se puede cortar por la mitad cualquiera, tan solo la compuesta por un número par de indivisibles, y también si es posible cortar un número cualquiera de veces la línea cortada por la mitad, de la misma manera quedará dividida la indivisible, cuando se divida en partes iguales la línea compuesta de un número par de indivisibles.

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V

Al mismo tiempo, si lo que se mueve recorre el trayecto completo en un tiempo determinado, recorrerá la mitad de la mitad y en un tiempo menor, menos de la mitad, de manera que si la magnitud está compuesta por un número impar de veces, se repetirá el corte medio de las indivisibles, si es que, en la mitad de tiempo va a recorrer la mitad del trayecte; así, el tiempo y la línea quedarán cortados de manera semejante. De manera que ninguna de les líneas compuestas quedará cortada en partes iguales y desiguales. Y si estas líneas son cortadas de manera semejante al tiempo, no serán líneas indivisibles. La característica de este argumento es, como se ha dicho, hacer que todas estas cosas, espacio y tiempo, estén compuestas de indivisibles.

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VI

Además, toda línea que no sea infinita tiene dos extremos que la limitan. (Elementos , Libro I, definición 3). Pero la indivisible no es infinita, así que tendrá dos extremos: entonces es divisible, ya que una cosa es el extremo y la otra aquello de lo que es extremo. O habrá aparte de éstas, una línea que no sea ni finita ni infinita.

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VII

Además, no habrá un punto a cualquier línea: en la indivisible no lo habrá. Si sólo hay uno, la línea será un punto y si hay más, la línea será divisible. Por tanto, si en la indivisible no hay un punto, tampoco lo habrá, en absoluto, en la línea. Ya que las otras se componen de indivisibles.

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VIII

Además, o no habrá nada entre medio de los puntos o habrá una línea. Y si entre medio hay una línea, como en todas las líneas hay muchos puntos, la línea no será indivisible.

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IX

Además, no existirá el cuadrado de una línea cualquiera, ya que tendrá longitud y anchura de manera que será divisible ya que una cosa y la otra son magnitudes. Y si el cuadrado es divisible, también lo será la línea.

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X

Además, el extremo de la línea será una línea, pero no un punto, ya que lo último es el extremo, pero último es la línea indivisible. Y si el extremo es un punto, el punto será el extremo de la línea indivisible y habrá una línea mayor que otra línea en un punto; pero si el punto está dentro de la línea indivisible, por el hecho de ser extremo común de las líneas que se continúan, existirá el extremo de aquello que no tiene partes. Y entonces, en general, ¿en qué difierie el punto de la línea? Pues la línea indivisible no tiene nada propio frente al punto excepto el nombre.

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XI

Además, de manera semejante, también el plano y el cuerpo serán indivisibles. Siendo lo uno indivisible, se seguirá también lo restante, por el hecho de dividirse lo uno respecto del otro. Pero el cuerpo no es indivisible, ya que si existe profundidad y anchura; entonces tampoco será indivisible la línea ya que el cuerpo es divisible en planos y los planos en líneas.
     Y dado que los razonamientos mediante los cuales intentan convencer son débiles y falsos, y sus opiniones son contrarias a todos los argumentos actuales que merecen crédito, es evidente que no existe una línea indivisible.

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