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Los fundamentos de la Geometría
Teoría de los triángulos, paralelas y el área Las 48 proposiciones se pueden dividir
en tres bloques. Las primeras 26 tratan de las propiedades de los triángulos.
De la 27 a la 32 establecen la teoría de las paralelas y demuestran
que la suma de los ángulos de un triángulo suman lo mismo que dos ángulos
rectos. De la 33 a la 48 tratan de los paralelogramos, triángulos, cuadrados,
del Teorema de Pitágoras y su inverso.
Definiciones
( 23 )
Transformaciones de áreas y álgebra
geométrica griega de la Escuela Pitagórica. Se establecen las equivalencias
geométricas de diferentes identidades algebraicas y una generalización
del Teorema de Pitágoras conocida como la ley del coseno. Parece querer
ilustrar este Libro II el uso del desarrollo elemental del método de aplicación
de áreas.
Definiciones ( 2 )
Definiciones ( 11 )
Este volumen contempla las construcciones
pitagóricas, con regla y compás de los polígonos regulares de
3, 4, 5, 6 y 15 lados. Consta de 7 definiciones y 16 proposiciones que
son todas problemas. Se estudian inscripciones y circunscripciones de
figuras rectilíneas y círculos, y se ofrece la construcción de polígonos
regulares, como el pentágono y el hexágono con el método de la duplicación
de lados.
Definiciones ( 7 )
Este volumen contiene una exposición
magistral de la teoría de la proporción aplicable a magnitudes conmensurables
y inconmensurables. Se resolvió así el problema planteado por el descubrimiento
pitagórico de los números irracionales.
Definiciones ( 18 ) Figuras geométricas
semejantes y proporcionales
Este volumen contiene la teoría
eudoxiana de la proposición a la geometría plana. Se establecen los
Teoremas fundamentales de los triángulos semejantes y las construcciones
de la tercera, la cuarta y la media proporcional. Se establece una
solución geométrica a las ecuaciones cuádricas y la proposición de
que la bisectriz interna del ángulo de un triángulo divide el lado
opuesto en dos segmentos proporcionales a los otros dos lados.
Definiciones ( 4 )
Definiciones ( 22 ) Continuación de proporciones
a la teoría de números
Este Libro VIII se ocupa de series
de números en proporción continuada y en progresión geométrica, concepto
y noción que no queda definida.
Este Libro IX es una
especie de miscelánia aritmética. Encontramos como primicia la moderna
resolución unívoca de un número en sus factores primeros y el Teorema
que establece la cantidad infinita de los números primos. Encontramos
también teorías de origen pitagórico que hablan de números pares, impares
y sus relaciones.
Este volumen contiene y trata los
números irracionales, es decir, de los segmentos que son inconmensurables
respecto al segmento rectilíneo dado. Considerado el Libro X como un
volumen complejo tanto por problemas de traducción como de interpretación.
Consta de 16 definiciones repartidas en 3 grupos y 115 proposiciones.
Se cree que gran parte de este volumen corresponde al trabajo de Theaetetus
y que Euclides completó, ordenó y acabó.
Definiciones I ( 4 )
Formando una especie
de trilogía, los Libros XI-XII y XIII hablan de la geometría del espacio.
Las 28 primeras definiciones en este Libro XI y ningún postulado configuran
un total de 75 proposiciones, 63 de las cuales son teoremas y las demás
12 problemas, aunque estén presentadas éstas últimas como proposiciones
mixtas.
Definiciones ( 28 )
Este Libro XII nutre
datos básicos para el desarrollo del Libro XIII con menos cohesión
y menor capacidad sistemática. Se emplea el método de exhausción
comentada por Arquímedes.
De estructura interna
sublime este excepcional Libro XIII incluye los dilectos 5 sólidos
platónicos; a saber, tetraedro, hexaedro, octoedro,
dodecaedro e icosaedro. Todos ellos evocando con rigor matemático
sin precedentes las leyes del espacio euclideo que exorna el Timeo
de Platón.
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