PROPOSICIÓN 9 LIBRO XIII

Proposición 9. Si se unen el lado de un hexágono y el de un decágono inscritos en el mismo círculo, la recta entera queda cortada en extrema y media razón, y su segmento mayor es el lado del hexágono.

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Sea el círculo ABC, y de las figuras inscritas en él sea BC el lado del decágono, y CD el lado del hexágono, y estén en línea recta. Yo digo que la recta entera BD queda cortada en extrema y media razón, y CD es el segmento mayor. Tómese el centro E del círculo y dibújense EB, EC, ED y prolónguese BE hasta A [III 1]. Dado que BC es el lado de un decágono equilátero, entonces la circunferencia ACB es cinco veces la circunferencia BC. Entonces la circunferencia AC es cuádruple de CB. Pero la circunferencia AC es a CB como el ángulo AEC es al ángulo CEB. Entonces el ángulo AEC es cuádruple del ángulo CEB. [VI 33]. Y, dado que el ángulo EBC es igual al ángulo ECB, entonces el ángulo AEC es doble del ángulo ECB. [ I 5, I 32]. Y, dado que la recta EC es igual a CD, porque cada una de ellas es igual al lado del hexágono inscrito en el círculo ABC. Entonces el ángulo CED es también igual al ángulo CDE. Entonces el ángulo ECB es doble del ángulo EDC. [IV 15, Cor. I 5, I 32]. Pero se ha demostrado que el ángulo AEC es doble del ángulo ECB, entonces el ángulo AEC es cuádruple del ángulo EDC. Y ha sido demostrado que el ángulo AEC es cuádruple del ángulo BEC, entonces el ángulo EDC es igual al ángulo BEC. Pero el ángulo EBD es común a los dos triángulos BEC y BED, entonces el ángulo restante BED es igual al ángulo restante ECB. Entonces el triángulo EBD es equiangular con el triángulo EBC. [I 32]. Entonces, proporcionalmente DB es a BE como EB es a BC. [VI 4]. Pero EB es igual a CD. Entonces BD es a DC como DC es a CB. Y BD es mayor que DC, entonces DC es también mayor que CB. Luego, la línea recta BD ha sido cortada en extrema y media razón, y DC es el segmento mayor. Entonces, si el lado del hexágono y el lado del decágono inscrito en el mismo círculo se unen, la recta entera queda cortada en extrema y media razón y su segmento mayor es el lado del hexágono.


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