PROPOSICIÓN 8 LIBRO XIII

Proposición 8. Si en un pentágono equilátero y equiangular, unas rectas opuestas a dos ángulos sucesivos se cortan entre sí en extrema y media razón y sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono.

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En el pentágono ABCDE equilátero y equiangular sean las rectas AC y BE que se cortan en el punto H y subtienden dos ángulos sucesivos, los ángulos A y B respectivamente. Yo digo que cada uno de ellos cortados en extrema y media razón por el punto H y sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono. Circunscríbase el círculo ABCDE al pentágono ABCDE. [IV 14]. Entonces, dado que las dos líneas rectas EA y AB son iguales a las dos rectas AB y BC, y comprenden ángulos iguales, entonces la base BE es igual a la base AC, el triángulo ABE es igual al triángulo ABC, y los ángulos restantes son iguales a los ángulos restantes respectivamente, que subtienden lados iguales también. [I 4]. Entonces el ángulo BAC es igual al ángulo ABE. Entonces el ángulo AHE es doble del ángulo BAH. [I 32]. Pero el ángulo EAC es también doble del ángulo BAC porque la circunferencia EDC es también doble de la circunferencia CB [III.28 VI.33]. Entonces el ángulo HAE es igual al ángulo AHE. Por lo tanto la línea recta HE es también igual a EA, es decir, AB. [I 6]. Y, dado que la línea recta BA es igual a AE, entonces el ángulo ABE es también igual al ángulo AEB [I 5]. Pero ha sido demostrado que el ángulo ABE es igual al ángulo BAH, entonces el ángulo BEA es también igual al ángulo BAH. Y el ángulo ABE es común a los dos triángulos ABE y ABH, entonces el ángulo restante BAE es igual al ángulo restante AHB. Entonces el triángulo ABE es equiangular con el triángulo ABH. [I 32]. Entonces, proporcionalmente EB es a BA como AB es a BH. [VI 4]. Pero BA es igual a EH, entonces BE es a EH como EH es a HB. Y BE es mayor que EH, entonces EH es también mayor que HB. [VI 14]. Entonces BE ha sido cortado en extrema y media razón en H, y el segmento mayor HE es igual al lado del pentágono. De manera semejante podemos demostrar que AC queda cortado en extrema y media razón por H y CH es el segmento mayor igual al lado del pentágono. Entonces, si en un pentágono equilátero y equiangular las líneas rectas opuestas a dos ángulos sucesivos se cortan entre sí en extrema y media razón, sus segmentos mayores son iguales al lado del pentágono.

 

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D.E.Joyce

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