PROPOSICIÓN 7 LIBRO XIII

Proposición 7. Si tres ángulos de un pentágono equilátero, sucesivos o no, son iguales, el pentágono será equiangular.

java applet or image

Primero, sean tres ángulos A, B y C tomados en orden del pentágono equilátero ABCDE. Yo digo que el pentágono ABCDE es equiangular. Trácese pues AC, BE, y FD. Ahora, dado que los lados CB y BA son iguales respectivamente a BA y AE, y el ánguloCBA es igual al ángulo BAE, entonces, la base AC es igual a la base BE y el triángulo ABC es igual al triángulo ABE y los ángulos que quedan, aquellos a los que subtienden los lados iguales, serán también iguales respectivamente [I 4], es decir: el ángulo BCA al ángulo BEA, y el ángulo ABE al ángulo CAB; de modo que el lado AZ es también igual al lado BZ [I 6]. Pero ha sido demostrado que la recta entera AC es también igual a la recta entera BE; luego la parte restante ZC es igual a la parte restante ZE. Pero CA también es igual a DE. Entonces los dos lados ZC y CD son iguales a los dos lados ZE y ED; y su base ZD es común; entonces el ángulo ZCD es igual al ángulo ZED [I 8]. Pero ha sido demostrado también que el ángulo BCA es igual al ángulo AEB; entonces el ángulo entero BCD es igual al ángulo entero AED. Ahora bien, se ha supuesto que el ángulo BCD es igual a los ángulos correspondientes a A y B; luego el ángulo AED es igual a los ángulos correspondientes a A y B. De manera semejante demostramos que el ángulo CDE es también igual a los ángulos correspondientes a A, B y C. Por tanto, el pentágono ABCDE es equiangular. Pero ahora no sean iguales los ángulos sucesivos y sean iguales los correspondientes a los puntos A, C y D. Yo digo que también en este caso el pentágono ABCDE es equiangular. Dibújese, así, BD. Y como los dos lados BA y AE son iguales a los dos lados BC y CD y comprenden ángulos iguales, entonces la base BE es igual a la base BD, y el triángulo ABE es igual al triángulo BCD, y los ángulos restantes, aquellos a los que subtienden ángulos iguales, serán también iguales respectivamente [I 4]. Luego el ángulo AEB es igual al ángulo CDB. Pero el ángulo BED es también igual al ángulo BDE, porque el lado BE es también igual al lado BD [I 5]. Entonces, el ángulo entero AED es igual al ángulo entero CDE. Pero ha sido supuesto que el ángulo CDE es igual a los ángulos A y C; luego, el ángulo AED es igual a los correspondientes a A y C. Por lo mismo el ángulo ABC es también igual a los ángulos correspondientes a A, C y D. Por consiguiente, el pentágono ABCDE es equiangular.

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al català cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org