PROPOSICIÓN 6 LIBRO XIII

Proposición 6. Si una recta expresable se corta en extrema y media razón, cada uno de los segmentos es la recta sin razón expresable llamada apótoma.

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Sea AB una recta expresable cortada en extrema y media razón en C, y sea AC el segmento mayor. Digo que cada una de las rectas AC, CB es la recta sin razón expresable llamada apótoma. Prolónguese, así BA y hágase AD igual a la mitad de BA. Pues bien, como la recta AB ha sido cortada en extrema y media razón por el punto C y se ha añadido al segmento mayor AC la recta AD que es la mitad de AB, entonces el cuadrado de CD es cinco veces el de AD [XIII 1]. Luego el cuadrado de CD guarda con el cuadrado de DA la razón que un número guarda con un número; por tanto, el cuadrado de CD es conmensurable con el cuadrado de DA [X 6]. Pero el cuadrado de DA es expresable, porque DA es expresable, siendo la mitad de AB que es expresable; entonces el cuadrado de CD es expresable [X Def. 4]. Luego CD también es expresable. Ahora bien, como el cuadrado de CD no guarda con el cuadrado de DA la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado, entonces CD es inconmensurable en longitud con DA [X 9]; luego CD y DA son rectas expresables conmensurables sólo en cuadrado; por tanto, AC es una apótoma [X 73]. A su vez, como AB ha sido cortada en extrema y media razón y su segmento mayor es AC, entonces el rectángulo comprendido por AB y BC es igual al cuadrado de AC [VI Def. 3, VI 17]. Entonces el cuadrado de la apótoma AC, aplicado a la recta expresable AB, produce la anchura BC; pero el cuadrado de una apótoma, aplicado a una recta expresable, produce como anchura una primera apótoma [X 97]; por tanto CB es una primera apótoma. Pero se ha demostrado que CA es también una apótoma. Entonces, si una recta expresable se corta en extrema y media razón, cada uno de los segmentos es la recta sin razón expresable llamada apótoma.

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D.E.Joyce

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