PROPOSICIÓN 5 LIBRO XIII

Proposición 5. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, y se añade otra igual al segmento mayor, la recta entera queda cortada en extrema y media razón, y la recta inicial es el segmento mayor.

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Sea AB una línea recta cortada en extrema y media razón por el punto C, y sea AC el segmento mayor, y sea AD igual a AC. Yo digo que la línea recta DB ha sido cortada en extrema y media razón por A, y la recta inicial AB es el segmento mayor. Constrúyase el cuadrado AE de AB e inscríbase la figura. Dado que AB se ha cortado en extrema y media razón por C, entonces el rectángulo AB en BC es igual al cuadrado de AC. [VI.Def. 3 VI.17]. Y CE es el rectángulo AB en BC, y CH es el cuadrado en AC, entonces CE es igual a HC. Pero HE es igual a CE, y DH igual a HC, entonces DH es también igual a HE. Luego el área entera DK es igual al área entera AE. Y DK es el rectángulo BD en DA, porque AD es igual a DL, y AE es el cuadrado en AB, entonces el rectángulo BD en DA es igual al cuadrado de AB. Luego, DB es a BA como BA es a AD. Y DB es mayor que BA, entonces es también mayor que AD. [VI.17 V.14]. Por lo tanto DB ha sido cortado en extrema y media razón en A, y AB es el segmento mayor. Entonces, si una línea recta es cortada en extrema y media razón, y se le añade una línea recta igual al segmento mayor, entonces la línea recta en su conjunto ha sido cortada en extrema y media razón, y la línea recta original es el segmento mayor.

 

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D.E.Joyce

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