PROPOSICIÓN 4 LIBRO XIII

Proposición 4. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado de la recta entera y el del segmento menor juntos, son el triple del cuadrado del segmento mayor.

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Sea AB una línea recta cortada en extrema y media razón por el punto C, y sea AC el segmento mayor. Yo digo que la suma de los cuadrados de AB y BC es el triple del cuadrado de CA. Constrúyase el cuadrado ADEB de AB e inscríbase la figura. Pues bien, dado que AB ha sido cortado en extrema y media razón en C, y AC es el segmento mayor, entonces el rectángulo comprendido por AB y BC es igual al cuadrado de AC.[VI. Def. 3 VI.17]. Y AK es el rectángulo AB de BC, y HG es el cuadrado de AC, entonces AK es igual a HG. Y, dado que AF es igual a FE, añádase CK a cada uno, entonces el total AK es igual al total CE. Entonces la suma de AK y CE es doble de AK. Pero la suma de AK y CE es la suma del gnomon LMN y del cuadrado CK, entonces la suma del gnomon LMN y el cuadrado CK es doble de AK. Pero, además, se ha demostrado que AK es igual a HG, por lo tanto, la suma del gnomon LMN y los cuadrados CK y HG es triple del cuadrado HG. Y la suma del gnomon LMN y los cuadrados CK y HG es la suma de los cuadrados enteros AE y CK, que son los cuadrados en AB y BC, mientras que HG es el cuadrado de AC. Entonces la suma de los cuadrados de AB y BC es el triple del cuadrado AC. Por lo tanto, si una línea recta es cortada en extrema y media razón, entonces, la suma de los cuadrados del conjunto y del segmento menor es triple del cuadrado del segmento mayor.

 

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D.E.Joyce

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