PROPOSICIÓN 3 LIBRO XIII

Proposición 3. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento menor junto con el de la mitad del segmento mayor es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor.

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Corte cualquier línea recta AB en extrema y media razón por el punto C, y sea CA el segmento mayor. Biseque CA por el punto D. Yo digo que el cuadrado de BD es cinco veces el cuadrado de DC. Constrúyase el cuadrado AE de AB, e inscríbase la figura. Puesto que CA es doble de DC, entonces el cuadrado de AC es cuádruple del cuadrado de DC, es decir, RS es cuádruple de FG. Y, como el rectángulo AB por BC es igual al cuadrado en CA, y CE es el rectángulo AB por BC entonces CE es igual a RS. Pero RS es cuádruple de FG, por lo tanto CE es también cuádruple de FG.Y dado que AD es igual a DC, entonces HK es también igual a KF. Por lo tanto el cuadrado GF es igual al cuadrado HL. Dado que GK es igual a KL, entonces MN es igual a NE. Pero MF es igual a CG entonces CG es igual a FE. Añada entonces CN a cada uno, y el gnomon OPQ será igual a CE. Pero ha sido probado que CE es cuádruple de GF, por lo tanto el gnomon OPQ es también cuádruple del cuadrado FG. Por lo tanto la suma del gnomon OPQ y el cuadrado FG es cinco veces FG. Pero la suma del gnomon OPQ y el cuadrado FG es el cuadrado DN. Y DN es el cuadrado de DB, y GF es el cuadrado de DC. Por lo tanto el cuadrado de DB es cinco veces el cuadrado de DC. Por lo tanto, si una línea recta es cortada en extrema y media razón, entonces el cuadrado de la suma del segmento menor y la mitad del segmento mayor es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor.

 

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D.E.Joyce

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