PROPOSICIÓN 2 LIBRO XIII

Proposición 2. Si el cuadrado de una línea recta es cinco veces el de un segmento de ella misma, cuando se corta el doble de este segmento en extrema y media razón, el segmento mayor es la parte que queda de la recta inicial.

java applet or image

Sea el cuadrado de la línea recta AB cinco veces el de su segmento AC, y sea CD el doble de AC. Yo digo que, cuando CD es cortado en extrema y media razón, entonces el segmento mayor es CB.
Constrúyanse los cuadrados AF y CG de AB y CD respectivamente, inscríbase la figura en AF, y dibújese BE.
Ahora, dado que el cuadrado de BA es cinco veces el cuadrado de AC, entonces AF es cinco veces AH. Entonces el gnomon MNO es cuádruple de AH. Y, dado que DC es doble de CA, entonces el cuadrado de DC es cuádruple del cuadrado de CA, es decir, CG es cuádruple de AH. Pero el gnomon MNO es también cuádruple de AH, entonces el gnomon MNO es igual a CG.
Y, como DC es doble de CA, mientra DC es igual a CK, y AC es igual a CH, entonces KB es también el doble de BH. [VI.1]
Pero la suma de LH y HB es además doble de HB, entonces KB es igual a la suma de LH y HB. Pero el gnomon entero MNO se ha demostrado que es igual al cuadrado entero CG, entonces el resto HF es igual a BG. Y BG es el rectángulo comprendido por CD en DB, porque CD es igual a DG, y HF es el cuadrado de CB, entonces el rectángulo comprendido por CD en DB es igual al cuadrado de CB. Por lo tanto, DC es a CB como CB es a BD. Pero DC es mayor que CB, entonces CB es también mayor que BD. Luego, cuando la línea recta CD es cortada en extrema y media razón, CB es el segmento mayor.

Lema
Que el doble de AC es mayor que BC se demuestra así:
Si no, sea BC, si es posible, el doble de CA.

Entonces el cuadrado de BC es cuádruple del cuadrado de CA. Entonces la suma de los cuadrados de BC y CA es cinco veces el cuadrado de CA. Pero, por hipótesis, el cuadrado de BA es también cinco veces el cuadrado de CA.
Luego el cuadrado de BA es igual a la suma de los cuadrados de BC y CA, lo cual es imposible. [II.4]
Entonces CB no es el doble de AC. De manera similar podemos demostrar que ninguno de ellos es una línea recta menor que CB y doble de CA, porque es un mayor absurdo. Por lo tanto el doble de AC es mayor que CB.
Entonces, si el cuadrado en una línea recta es cinco veces el cuadrado de un segmento en él, entonces, cuando el doble de dicho segmento es cortado en extrema y media razón, el segmento mayor es la parte restante de la línea recta original.

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al català cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org