PROPOSICIÓN 1 LIBRO XIII

Proposición 1. Si se corta una línea recta en extrema y media razón, el cuadrado del segmento mayor junto con el de la mitad de la recta entera es cinco veces el cuadrado de la mitad.

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Córtese la recta AB en extrema y media razón por el punto C y sea AC el segmento mayor. Prolóngase la recta AD en línea recta con CA y hágase AD igual a la mitad de AB.
Yo digo que el cuadrado en CD es cinco veces el cuadrado AD.
Constrúyanse los cuadrados AE y DF en AB y DC e incríbase la figura en DF y prolóngase FC hasta G.
Ahora, dado que AB ha sido cortado en extrema y media razón en C, entonces el rectángulo comprendido por AB y BC es igual al cuadrado AC. Y el rectángulo CE está comprendido por AB y BC, y FH es el cuadrado de AC, entonces CE es igual a FH.
Y como BA es doble de AD, mientras BA es igual a KA, y AD es igual a AH, entonces KA es también doble de AH.
Pero KA es a AH como CK es a CH, entonces CK es doble de CH. Pero también de LH y HC es también doble de CH. Entonces KC es igual a LH y HC. Pero se ha demostrado que CE también es igual a HF; luego el cuadrado entero AE es igual al gnomon MNO. Y, como BA es doble de AD, entonces el cuadrado de BA es cuádruple del cuadrado de AD, es decir, AE es cuádruple de DH.
Pero AE es igual al gnomon MNO, entonces el gnomon MNO es también cuádruple de AP. Entonces el cuadrado entero DF es cinco veces AP.
Y DF es el cuadrado de DC, y AP el cuadrado de DP, por tanto el cuadrado de CD es cinco veces el cuadrado de DA.
Por consiguiente, si una línea recta se corta en extrema y media razón, entonces el cuadrado del segmento mayor añadido al de la mitad de la recta es cinco veces el cuadrado de la mitad.


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D.E.Joyce

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