PROPOSICIÓN 16 LIBRO XIII

Proposición 16. Construir un icosaedro contenido en una esfera, como en las figuras anteriores, y demostrar que el lado del icosaedro es la recta sin razón expresable llamada menor.

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Sea AB el diámetro de la esfera dada, y sea cortado por el punto C de modo que AC sea cuádruple de CB, descríbase el semicírculo ADB en AB, dibujar la línea recta CD desde C formando ángulos rectos con AB, y trazar DB. [VI 9, I 11]. Póngase el círculo EFGHK, y sea el radio igual a DB. Inscríbase el pentágono equilátero y equiangular EFGHK en el círculo EFGHK, biseccionar las circunferencias EF, FG, GH, HK, y KE por los puntos L, M, N, O, y P, y trazar LM, MN, NO, OP, PL, y EP. [IV 11, I 9]. Por lo tanto el pentágono LMNOP es también equilátero, y la línea recta EP pertenece a un decágono. Ahora desde los puntos E, F, G, H, y K levantar las líneas rectas EQ, FR, GS, HT, y KU formando ángulos rectos con el plano del círculo, y sean iguales al radio del círculo EFGHK. Trazar QR, RS, ST, TU, UQ, QL, LR, RM, MS, SN, NT, TO, OU, UP, y PQ. [XI 12, I 3]. Ahora, dado que cada una de las líneas rectas EQ y KU forman ángulos rectos con el mismo plano, entonces EQ es paralela a KU. Pero también es igual a ella, y las líneas rectas trazadas por los extremos en la misma dirección a rectas iguales y paralelas son iguales y paralelas. Entonces QU es igual y paralela a EK. [I 33]. Pero EK pertenece a un pentágono equilátero, entonces QU pertenece también a un pentágono equilátero inscrito en el círculo EFGHK. Por la misma razón cada una de las líneas rectas QR, RS, ST, y TU también pertenecen al pentágono equilátero inscrito en el círculo EFGHK. Entonces el pentágono QRSTU es equilátero. Y, dado que QE pertenece a un hexágono, y EP pertenece a un decágono, y el ángulo QEO es recto, entonces QP pertenece a un pentágono, porque el cuadrado del lado del pentágono es igual a la suma de los cuadrados del lado del hexágono y del cuadrado del lado del decágono inscrito en el mismo círculo. [XIII 10]. Por la misma razón PU es también un lado del pentágono. Pero QU pertenece también a un pentágono, entonces el triángulo QPU es equilátero. Por la misma razón cada uno de los triángulos QLR, RMS, SNT, y TOU es también equilátero. Y, dado que cada una de las líneas rectas QL y QP se ha demostrado que pertenecen a un pentágono, y LP pertenece también a un pentágono, entonces el triángulo QLP es equilátero. Por la misma razón cada uno de los triángulos LRM, MSN, NTO, y OUP son también equiláteros. Tomar el centro V del círculo EFGHK, levantar VZ desde V formando ángulos rectos con el plano del círculo, y prolongarlo en la otra dirección VX. Quitar VW, el lado de un hexágono, y cada una de las líneas rectas VX y WZ, lados de un decágono. Trazar QZ, QW, UZ, EV, LV, LX, y XM. [III 1, XI 12]. Ahora, dado que cada una de las líneas rectas VW y QE forman ángulos rectos con el plano del círculo, entonces VW es paralela a QE. Pero son también iguales, entonces EV y QW son también iguales y paralelas. [XI 6, I 3]. Pero EV pertenece a un hexágono, entonces QW pertenece también a un hexágono. Y, dado que QW pertenece a un hexágono, y WZ a un decágono, y el ángulo QWZ es recto, entonces QZ pertenece a un pentágono. [XIII 10]. Por la misma razón UZ pertenece también a un pentágono, porque si trazamos VK y WU, entonces son iguales y opuestas, y VK, siendo un radio, pertenece a un hexágono, entonces WU pertenece también a un hexágono. Pero WZ pertenece a un decágono, y el ángulo UWZ es recto, entonces UZ pertenece a un pentágono. [IV 15, Cor., XIII 10]. Porque QU pertenece también a un pentágono, entonces el triángulo QUZ es equilátero. Por la misma razón cada uno de los triángulos restantes cuyas bases son las líneas rectas QR, RS, ST y TU, y el punto Z es el vértice, son también equiláteros. Por lo mismo, dado que VL pertenece a un hexágono, y VX a un decágono, y el ángulo LVX es recto, entonces LX pertenece a un pentágono. [XIII 10]. Por la misma razón, si trazamos MV, que pertenece a un hexágono, MX está también determinado a pertenecer a un pentágono. Pero LM pertenece también a un pentágono, entonces el triángulo LMX es equilátero. De manera similar se puede demostrar que cada uno de los triángulos restantes cuyas bases son MN, NO, OP, y PL y el punto X el vértice, son también equiláteros. Por lo tanto se ha construido un icosaedro comprendido por veinte triángulos equiláteros. [XI Def. 27]. El objetivo siguiente es comprenderlo en una esfera dada y demostrar que el lado del icosaedro es la recta irracional llamada menor. Puesto que VW pertenece a un hexágono, y WZ a un decágono, entonces VZ queda cortada en extrema y media razón por W, y VW es el segmento mayor. Entonces como ZV es a VW así VW es a WZ. [XIII 9]. Pero VW es igual a VE, y WZ es igual a VX, entonces ZV es a VE como EV es a VX. Y los ángulos ZVE y EVX son rectos, entonces, si trazamos la línea recta EZ, el ángulo XEZ será recto dado que los triángulos XEZ y VEZ son semejantes. Por la misma razón, dado que ZV es a VW como VW es a WZ, y ZV es igual a XW, y XW es igual a WQ, entonces XW es a WQ como QW es a WZ. Y de nuevo por la misma razón, si trazamos QX, entonces el ángulo de Q será recto, entonces el semicírculo descrito sobre XZ pasará a través de Q. [VI 8, III 31]. Y si, XZ permanece fijo, y se hace girar el semicírculo alrededor y se devuelve a la misma posición desde la que empezó a moverse, entonces pasará a través de Q y de los vértices restantes del icosaedro, y el icosaedro estará comprendido en la esfera. Yo digo además que estará comprendido en la esfera dada. Biseccionar VW por A. [I 9]. Entonces, dado que la línea recta VZ se corta en extrema y media razón por W, y ZW es el segmento menor, entonces el cuadrado de ZW añadido a la mitad del segmento mayor, que es WA, es cinco veces el cuadrado de la mitad del segmento mayor. Entonces el cuadrado de ZA es cinco veces el cuadrado de AW. [XIII 3]. Y ZX es doble de ZA, y VW es doble de AW, entonces el cuadrado de ZX es cinco veces el cuadrado de WV. Y, dado que AC es cuádruple de CB, entonces AB es cinco veces BC. Pero AB es a BC como el cuadrado de AB es al cuadrado de BD, entonces el cuadrado de AB es cinco veces el cuadrado de BD. [VI 8, V Def. 9]. Pero el cuadrado de ZX se ha demostrado que es cinco veces el cuadrado de VW. Y DB es igual a VW, porque cada una de ellas es igual al radio del círculo EFGHK, entonces AB es también igual a XZ. Y AB es el diámetro de la esfera dada, entonces XZ es también igual al diámetro de la esfera dada. Así pues, el icosaedro ha sido contenido en la esfera dada. Yo digo que el lado del icosaedro es la recta irracional llamada menor. Dado que el diámetro de la esfera es racional, y el cuadrado de ella es cinco veces el cuadrado del radio del círculo EFGHK, entonces el radio del círculo EFGHK es también racional, de ahí que el diámetro sea también racional. Pero, si un pentágono equilátero se inscribe en un círculo que tiene un diámetro racional, entonces el lado del pentágono es la recta irracional llamada menor. [XIII 11]. Y el lado del pentágono EFGHK es el lado del icosaedro. Entonces el lado del icosaedro es la línea recta irracional llamada menor.

COROLARIO
Con esto queda claro que el cuadrado del diámetro de la esfera es cinco veces el cuadrado del radio del círculo a partir del cual el icosaedro ha sido descrito, y que el diámetro de la esfera está compuesto por el lado del hexágono y dos de los lados del decágono inscrito en el mismo círculo. Q.E.F.

 

EL ICOSAEDRO
El icosaedro regular está compuesto por 20 caras, cada una de las cuáles es un triángulo equilátero, con cinco triángulos que se encuentran en cada vértice. Hay 12 vértices, y son 30 aristas.
A diferencia de la mayor parte de las ilustraciones de Euclides, el dibujo utilizado en esta proposición es muy esquemático y no ayuda a comprender la proyección del icosaedro. Evidentemente, podría ser que el dibujo haya cambiado a lo largo de los siglos y de las copias pero el original muestra los vértices esparcidos para poder interpretar el conjunto. La figura muestra una proyección ortogonal estandar del icosaedro. Mostramos ahora un icosaedro sin las líneas auxiliares.

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