PROPOSICIÓN 15 LIBRO XIII

Proposición 15. Construir un cubo inscrito en una esfera como en la pirámide, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el triple del cuadrado del lado del cubo.

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Póngase AB como diámetro de la esfera dada, y córtese por C de tal modo que AC sea doble de CB. Descríbase el semicírculo ADB sobre AB, y dibujar CD desde C formando ángulos rectos con AB, y trazar DB. Póngase el cuadrado EFGH que tenga el lado igual a DB, dibujar EK, FL, GM, y HN desde E, F, G, y H formando ángulos rectos con el plano del cuadrado EFGH, y cortar EK, FL, GM y HN desde EK, FL, GM, y HN respectivamente iguales a una de las líneas rectas EF, FG, GH, o HE. Trazar KL, LM, MN, y NK. [VI 9, I 11, I 46, XI, 12, I 3]. Entonces el cubo FN ha sido construido comprendido por seis cuadrados iguales. [XI Def. 25]. Ahora hay que comprenderlo en la esfera dada, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es triple del cuadrado del lado del cubo. Trazar KG y EG. Entonces, dado que el ángulo KEG es recto, porque KE es también el ángulo recto del plano EG y por supuesto con la línea recta EG también, entonces el semicírculo descrito en KG pasa a través del punto E. [XI Def. 3]. Puesto que, a su vez GF forma ángulos rectos con cada una de las líneas rectas FL y FE, entonces GF forma también ángulos rectos con el plano FK. Por lo tanto también, si trazamos FK, entonces GF formará ángulos rectos con FK. Por la misma razón el semicírculo descrito sobre GK también pasa a través de F. De manera semejante también pasa por el resto de puntos angulares del cubo. Entonces, si permaneciendo KG fijo, el semicírculo gira alrededor y se devuelve a la misma posición desde la que se empezó a mover, entonces el cubo está comprendido en la esfera. Yo digo además que está comprendido en la esfera dada. Porque, dado que GF es igual a FE, y el ángulo F es recto, entonces el cuadrado de EG es doble del cuadrado de EF. Pero EF es igual a EK, entonces el cuadrado de EG es doble del cuadrado de EK. Por lo tanto la suma de los cuadrados de GE y EK, que es el cuadrado de GK, es triple del cuadrado de EK. [I 47]. Y, dado que AB es triple de BC, mientras AB es a BC como el cuadrado de AB es al cuadrado de BD, entonces el cuadrado de AB es triple del cuadrado de BD. Pero se ha demostrado que el cuadrado de GK es triple del cuadrado de KE. Y KE se ha hecho igual a DB, entonces KG es también igual a AB. Y AB es el diámetro de la esfera dada, entonces KG es también igual al diámetro de la esfera dada. Entonces el cubo ha sido comprendido en la esfera dada y ha sido demostrado al mismo tiempo que el cuadrado del diámetro de la esfera es triple del cuadrado del lado del cubo. Q.E.F.

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