PROPOSICIÓN 14 LIBRO XIII

Proposición 14. Construir un octaedro contenido en una esfera como en la proposición anterior, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es el doble del cuadrado del lado del octaedro.

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Sea el diámetro AB de la esfera dada, biseccionarlo por el punto C, describir el semicírculo ADB sobre AB, dibujar CD desde el punto C formando ángulos rectos con AB, y trazar DB. [I 11]. Sea el cuadrado EFGH, que tenga cada uno de sus lados igual a DB, trazar HF y EG, levántese la línea recta KL desde el punto K formando ángulos rectos con el plano del cuadrado EFGH, y prolónguese hacia el otro lado del plano KM. [I 46, XI 12]. Quítese KL y KM de las rectas KL y KM respectivamente iguales a una de las líneas rectas EK, FK, GK, o HK, y trazar LE, LF, LG, LH, ME, MF, MG, y MH. [I 3]. Entonces, dado que KE es igual a KH, y el ángulo EKH es recto, entonces el cuadrado de HE es doble del cuadrado de EK. Asimismo, dado que LK es igual a KE, y el ángulo LKE es recto, entonces el cuadrado de EL es doble del cuadrado de EK. [I 47]. Pero el cuadrado de HE se ha demostrado que es doble del cuadrado de EK, entonces el cuadrado de LE es igual al cuadrado de EH. Entonces LE es igual a EH. Por la misma razón LH es también igual a HE. Entonces el triángulo LEH es equilátero. De manera semejante podemos demostrar que cada uno de los triángulos restantes las bases de los cuales son los lados del cuadrado EFGH y los puntos L y M son sus vértices son equiláteros, entonces ha sido construido el octaedro comprendido por ocho triángulos equiláteros. [ XI Def. 26]. El siguiente objetivo es comprenderlo en la esfera dada, y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es doble del cuadrado del lado del octaedro. Dado que las tres líneas rectas LK, KM y KE son iguales entre sí, entonces el semicírculo descrito sobre LM pasa a través de E. Y por la misma razón, si, LM permanece fijo, el semicírculo se hace girar y se devuelve a la misma posición desde donde empezó a desplazarse, entonces pasa también a través de los puntos F, G y H, y el octaedro estará comprendido en la esfera. Yo digo además que también estará comprendido en la esfera dada. Porque, dado que LK es igual a KM, mientras KE es común, y comprenden ángulos rectos, entonces la base LE es igual a la base EM. [ I 4]. Y, dado que el ángulo LEM es recto, porque está en un semicírculo, entonces el cuadrado de LM es doble al cuadrado de LE. [ III 31, I 47]. De nuevo, dado que AC es igual a CB, entonces AB es doble de BC. Pero AB es a BC como el cuadrado de AB es al cuadrado de BD, entonces el cuadrado de AB es doble del cuadrado de BD. Pero se ha demostrado que el cuadrado de LM es doble del cuadrado de LE. Y el cuadrado de DB es igual al cuadrado de LE, porque EH se ha hecho igual a DB. Entonces el cuadrado de AB es igual al cuadrado de LM. Entonces AB es igual a LM. Y AB es el diámetro de la esfera dada, entonces LM es igual al diámetro de la esfera dada. Entonces se ha comprendido el octaedro en la esfera dada, y ha sido demostrado al mismo tiempo que el cuadrado del diámetro de la esfera es doble del cuadrado del lado del octaedro. Q.E.D.

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