PROPOSICIÓN 13 LIBRO XIII

Proposición 13. Construir una pirámide inscrita en una esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el del lado de la pirámide.

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Sea el diámetro AB de la esfera dada y córtese por C de tal manera que AC es el doble de CB, descríbase el semicírculo ADB de AB, sea dibujado CD formando ángulos rectos con AB, y sea dibujado DA. [VI 9, I 11]. Sea el círculo EFG con radio igual a DC, sea inscrito el triángulo equilátero EFG en el círculo EFG, tómese el centro H del círculo, y sean dibujados EH, HF, y HG. [I 1, IV 2]. Levántese HK desde el punto H formando ángulos rectos con el plano del círculo EFG, quítese HK igual a la línea recta AC desde HK, trácense KE, KF, y KG. [XI 12, I 3]. Ahora, como KH forma ángulos rectos con el plano del círculo EFG, entonces forma ángulos rectos con todas las líneas rectas y están en el plano del círculo EFG. Pero cada una de las rectas HE, HF y HG la toca, entonces HK forma ángulos rectos con cada una de las rectas HE, HF, y HG. [XI Def. 3]. Y, como AC es igual a HK, y CD es igual a HE, y comprenden ángulos rectos, entonces la base DA es igual a la base KE. Por la misma razón cada una de las rectas KF y KG son iguales a DA. Entonces las tres líneas rectas KE, KF y KG son iguales entre sí. [I 4]. Y, dado que AC es doble de CB, entonces AB es triple de BC. Pero dado que AB es a BC como el cuadrado de AD es al cuadrado de DC como se demostrará seguidamente. Entonces el cuadrado de AD es el triple del cuadrado de DC. Pero el cuadrado de FE es también el triple del cuadrado de EH, y DC es igual a EH, entonces DA es también igual a EF. [XIII 12]. Pero ha sido demostrado que DA es igual a cada una de las rectas KE, KF y KG, entonces cada una de las líneas rectas EF, FG y GE son también iguales a cada una de las líneas rectas KE, KF y KG. Entonces los cuatro triángulos EFG, KEF, KFG y KEG son equiláteros. Por lo tanto ha sido construida una pirámide con cuatro triángulos equiláteros, el triángulo EFG empezando como base y el punto K como vértice. El propósito siguiente es comprenderla en la esfera dada y demostrar que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el cuadrado del lado de la pirámide. Prolónguese la recta HL en línea recta con KH, y hágase HL igual a CB. [I 3]. Ahora, dado que AC es a CD como CD es a CB, mientras AC es igual a KH, CD igual a HE y CB igual a HL, entonces KH es a HE como EH es a HL. Entonces el rectángulo KH en HL es igual al cuadrado en EH. [VI 8, Cor., VI 17]. Y cada uno de los ángulos KHE, EHL es recto, entonces el semicírculo descrito en KL pasa a través de E también. [VI 8, III 31]. Entonces si KL permaneciendo fija, EHL es recto, el semicírculo se hace girar y se vuelve a la misma posición de donde empezó a moverse, entonces pasará a través de los puntos F y G, puesto que, si FL y LG son trazadas, luego los ángulos en F y G resultan ángulos rectos, y la pirámide queda comprendida en la esfera dada. Para KL, el diámetro de la esfera, igual al diámetro AB de la esfera dada, puesto que KH se ha hecho igual a AC, y HL a CB. Yo digo además que el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el cuadrado en el lado de la pirámide. Puesto que AC es doble de CB, entonces AB es triple de BC y, en la conversión, BA es una vez y media AC. Pero BA es a AC como el cuadrado de BA es al cuadrado de AD. Entonces el cuadrado de BA es también una vez y media el cuadrado de AD. Y BA es el diámetro de la esfera dada, y AD es igual al lado de la pirámide. Entonces el cuadrado del diámetro de la esfera es una vez y media el cuadrado del lado de la pirámide. Q.E.F.

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LEMA
Se debe demostrar que AB es a BC como el cuadrado de AD es al cuadrado de DC. Pongamos la figura del semicírculo, trácese DB, constrúyase el cuadrado EC en AC, y complétese el paralelogramo FB. [I 46]. Puesto que el triángulo DAB es equiangular con el triángulo DAC, entonces BA es a AD como DA es a AC. Entonces el rectángulo BA en AC es igual al cuadrado de AD. [VI.8, VI.4, VI.17]. Y puesto que AB es a BC como EB es a BF, y EB es el rectángulo BA en AC, porque EA es igual a AC, y BF es el rectángulo AC en CB, entonces AB es a BC como el rectángulo BA en AC es al rectángulo AC en CB. [VI 1]. Y el rectángulo BA en AC igual al cuadrado de AD, y el rectángulo AC por CB igual al cuadrado de DC, porque la perpendicular DC es la media proporcional entre los segmentos AC y CB de la base, porque el ángulo ADB es recto. Entonces AB es a BC como el cuadrado de AD es al cuadrado de DC. [VI 8, Cor.]. Q.E.D.


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