PROPOSICIÓN 12 LIBRO XIII

Proposición 12. Si se inscribe un triángulo equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del triángulo es el triple del cuadrado del radio del círculo.

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Sea ABC el círculo, y sea el triángulo equilátero ABC inscrito en él. Yo digo que el cuadrado de un lado del triángulo ABC es triple del cuadrado del radio del círculo. Tómese el centro D del círculo ABC, trácese AD y prolónguese hasta E, y trácese BE. [III 1]. Así pues, dado que el triángulo ABC es equilátero, entonces la circunferencia BEC es la tercera parte de la circunferencia del círculo ABC. Entonces la circunferencia BE es la sexta parte de la circunferencia del círculo. Luego la línea recta BE pertenece al hexágono. Así pues, es igual al radio DE. [IV 15, Cor.]. Y, dado que AE es doble de DE, entonces el cuadrado de AE es cuádruple del cuadrado de ED, es decir, del cuadrado de BE. Pero el cuadrado de AE es igual a la suma de los cuadrados de AB y BE. Entonces la suma de los cuadrados de AB y BE es cuádruple del cuadrado de BE. [III 31, I 47]. Así pues, tomados separadamente, el cuadrado de AB es triple del cuadrado de BE. Pero BE es igual a DE, entonces el cuadrado de AB es triple del cuadrado de DE. Por lo tanto, el cuadrado del lado del triángulo es triple del cuadrado del radio. Entonces, si un triángulo equilátero se inscribe en un círculo, entonces el cuadrado del lado del triángulo es triple del cuadrado del radio del círculo. Q.E.D.

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

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