PROPOSICIÓN 11 LIBRO XIII

Proposición 11. Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo que tenga diámetro expresable, el lado del pentágono es la recta sin razón expresable llamada menor.

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En el círculo ABCDE de diámetro racional sea inscrito el pentágono equilátero ABCDE. Yo digo que el lado del pentágono es la línea recta irracional llamada menor. Tómese el centro F del círculo y trácense AF y FB y prolónguese hasta los puntos G y H y trácese AC y hágase FK la cuarta parte de AF. [III 1, VI 9]. Ahora AF es racional, entonces FK es también racional. Pero BF es también racional, entonces el conjunto BK es expresable. Y dado que la circunferencia ACG es igual a la circunferencia ADG y en ella ABC es igual a AED, entonces el resto CG es igual al resto GD. Y, si trazamos AD, entonces se concluye que los ángulos correspondientes a L son rectos, y CD es doble de CL. Por la misma razón los ángulos correspondientes a M son también rectos, y AC es doble de CM. Luego el ángulo ALC es igual al ángulo AMF y el ángulo LAC es común a los dos triángulos ACL y AMF, entonces el ángulo restante ACL es igual al ángulo restante MFA. [I 32]. Entonces el triángulo ACL es equiangular con el triángulo AMF. Entonces, proporcionalmente LC es a CA como MF es a FA. Tomando los dobles de los antecedentes, entonces el doble de LC es a CA como el doble de MF es a FA. Pero el doble de MF es a FA como MF es a la mitad de FA, entonces también el doble de LC es a CA como MF es a la mitad de FA. Tomando la mitad de los consecuentes, entonces el doble de LC es a la mitad de CA como MF es la cuarta parte de FA. Y DC es doble de LC, CM es la mitad de CA, y FK es la cuarta parte de FA, entonces DC es a CM como MF es a FK. Tomado conjuntamente, la suma de DC y CM es a CM como MK es a KF. Entonces el cuadrado de la suma de DC y CM es al cuadrado de CM como el cuadrado de MK es al cuadrado de KF. [V 18]. Y puesto que, cuando la recta que subtiende dos lados del pentágono AC es cortada en extrema y media razón, el segmento mayor es igual al lado del pentágono, esto es, DC, mientras el cuadrado del segmento mayor añadido a la mitad del conjunto es cinco veces el cuadrado de la mitad del conjunto, y CM es la mitad del conjunto AC, entonces el cuadrado de DC y CM puestos en línea recta es cinco veces el cuadrado de CM. [XIII 8, XIII 1]. Pero ha sido demostrado que el cuadrado de DC y CM tomado como una recta es al cuadrado de CM como el cuadrado de MK es al cuadrado de KF, entonces el cuadrado de MK es cinco veces el cuadrado de KF. Pero el cuadrado de KF es expresable, porque el diámetro es racional, entonces el cuadrado de MK es también expresable. Entonces MK es racional. Y, como BF es cuádruple de FK, entonces BK es cinco veces KF. Entonces el cuadrado de BK es veinticinco veces el cuadrado de KF. Pero el cuadrado de MK es cinco veces el cuadrado de KF, entonces el cuadrado de BK es cinco veces el cuadrado de KM. Entonces el cuadrado de BK no guarda con el cuadrado de KM la razón que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Por tanto BK es inconmensurable en longitud con KM. [X 9]. Y cada una de ellas es expresable. Entonces BK y KM son líneas rectas racionales conmensurables sólo en cuadrado. Pero si se quita de una recta expresable otra recta expresable conmensurable sólo en cuadrado con la recta entera, la recta restante, sin razón expresable, es una apótoma, por tanto MB es una apótoma y MK la adjunta a ella. [X 73].
Yo digo además que MB es la cuarta apótoma. Sea el cuadrado de N igual a aquello en lo que el cuadrado de BK es mayor que el cuadrado de KM. Entonces el cuadrado de BK es mayor que el cuadrado de KM en el cuadrado de N. Y dado que KF es conmensurable con FB, por composición, KB es conmensurable con FB. Pero BF es conmensurable con BH, entonces BK es también conmensurable con BH. [X 15, X 12]. Y como el cuadrado de BK es cinco veces el cuadrado de KM, entonces el cuadrado de BK guarda con el cuadrado de KM la razón que 5 guarda con 1. Entonces, en conversión, el cuadrado de BK guarda con el cuadrado de N la razón que 5 guarda con 4, y no la que un número cuadrado guarda con un número cuadrado. Entonces BK es conmensurable con N. Entonces el cuadrado de BK es mayor que el cuadrado de KM en el cuadrado de una recta inconmensurable con BK. [V 19, Cor., X 9]. Dado que el cuadrado de la recta entera BK es mayor que el cuadrado de la adjunta KM en el cuadrado de una línea recta inconmensurable con BK, y la recta entera BK es conmensurable con la recta racional, BH, entonces MB es una cuarta apótoma. [X Def.III 4]. Pero el rectángulo comprendido por una recta expresable y una cuarta apótoma no tiene razón expresable y el lado del cuadrado no tiene razón expresable y se llama menor. [X 94]. Pero el cuadrado de AB es igual al rectángulo HB de BM, porque, trazado AH, el triángulo ABH es equiangular con el triángulo ABM, y HB es a BA como AB es a BM. Entonces el lado AB del pentágono es la recta irracional llamada menor. Entonces, si en un pentágono equilátero inscrito en un círculo de diámetro racional, entonces el lado del pentágono es la recta irracional llamada menor.


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