PROPOSICIÓN 10 LIBRO XIII

Proposición 10. Si se inscribe un pentágono equilátero en un círculo, el cuadrado del lado del pentágono es igual a los cuadrados de los lados del hexágono y del
decágono inscritos en el mismo círculo.

java applet or image

Sea ABCDE un círculo, y sea el pentágono equilátero ABCDE inscrito en él. Yo digo que el cuadrado del lado del pentágono ABCDE es igual a la suma de los cuadrados en los lados del hexágono y el decágono inscritos en el círculo ABCDE. Tómese el centro F del círculo, trazar AF y prolónguese hasta G y trácese FB. Dibujar FH desde F perpendicular a AB y prolónguese hasta K, trazar AK y KB, dibujar FL desde F perpendicular a AK, prolónguese hasta M, y trazar KN. [III 1, I 12]. Dado que la circunferencia ABCG es igual a la circunferencia AEDG, y en ellas ABC es igual a AED, entonces el resto, la circunferencia CG, es igual al resto GD. Pero CD pertenece al pentágono, entonces CG pertenece al decágono. Y, dado que FA es igual a FB, y FH es perpendicular, entonces el ángulo AFK es igual al ángulo KFB. [I.5 I.26]. De modo que la circunferencia AK es igual a KB. Entonces la circunferencia AB es doble de la circunferencia BK. Entonces la línea recta AK es el lado del decágono. Por la misma razón AK es doble de KM. [III 26]. Ahora, dado que la circunferencia AB es doble de la circunferencia BK, mientras que la circunferencia CD es igual a la circunferencia AB, entonces la circunferencia CD es también doble de la circunferencia BK. Pero la circunferencia CD es también doble de CG, entonces la circunferencia CG es igual a la circunferencia BK. Pero BK es doble de KM, porque KA también lo es, entonces CG es también doble de KM. Pero además, la circunferencia CB es también doble de la circunferencia BK, porque la circunferencia CB es igual a BA. Entonces la circunferencia entera GB es también doble de BM. Por lo tanto el ángulo GFB es doble del ángulo BFM. [VI 33]. Pero el ángulo GFB es doble del ángulo FAB, porque el ángulo FAB es igual al ángulo ABF. Entonces el ángulo BFN es igual al ángulo FAB. Pero el ángulo ABF es común a los dos triángulos ABF y BFN, entonces el ángulo restante AFB es igual al ángulo restante BNF. Entonces el triángulo ABF es equiangular con el triángulo BFN. [I 32]. Entonces, proporcionalmente la línea recta AB es a BF como FB es a BN. Entonces el rectángulo AB de BN es igual al cuadrado de BF. [VI 4, VI 17]. Una vez más, dado que AL es igual a LK, mientras LN es común a los ángulos rectos, entonces la base KN es igual a la base AN. Entonces el ángulo LKN es también igual al ángulo LAN. [I 4]. Pero el ángulo LAN es igual al ángulo KBN, entonces el ángulo LKN es también igual al ángulo KBN. Y el ángulo correspondiente a A es común a los dos triángulos AKB y AKN. Entonces el ángulo restante AKB es igual al ángulo restante KNA. [I 32]. Entonces el triángulo KBA es equiangular con el triángulo KNA. Entonces, proporcionalmente la línea recta BA es a AK como KA es a AN. [VI 1]. Luego, el rectángulo BA de AN es igual al cuadrado en AK [VI 17]. Pero el rectángulo AB en BN ha sido demostrado que es igual al cuadrado en BF, entonces la suma de los rectángulos AB de BN y el rectángulo BA de AN, esto es, el cuadrado en BA , es igual a la suma de los cuadrados en BF y AK. [II 2]. Y BA es el lado del pentágono, BF del hexágono, y AK del decágono. [IV 15, Cor.]. Por consiguiente, si un pentágono inscrito en un círculo, el cuadrado del lado del pentágono es igual a la suma de los cuadrados de los lados del hexágono y del decágono inscritos en el mismo círculo.

 

Copyright © 1996/1997 (Juny, 1997)
D.E.Joyce

Clark University

© Drets de Traducció al català cedits 2002/2003
Jaume Domenech Larraz
info@euclides.org


© Copyfreedom 2012 JDL Euclides.org