PROPOSICIÓN 9 LIBRO XII

Proposición 9. Las bases de las pirámides iguales que tienen como base triángulos están inversamente relacionadas con sus alturas; y las pirámides que tienen como base triángulos, las bases de los cuales están inversamente relacionadas con sus alturas, son iguales.

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Sean las pirámides ABC y DEF con bases triangulares y vértices G y H.
Yo digo que en las pirámides ABCG y DEFH las bases son inversamente proporcionales a las alturas, que es la base ABC es a la base DEF como la altura de la pirámide DEFH es a la altura de la pirámide ABCG.
Complétense los sólidos paralepípedos BGML y EHQP.
Ahora, dado que la pirámide ABCG es igual a la pirámide DEFH, y el sólido BGML es seis veces la pirámide ABCG, y el sólido EHQP es seis veces la pirámide DEFH, entonces el sólido BGML es igual al sólido EHQP. [XII 7. Cor].
Pero en los sólidos paralepípedos las bases son inversamente proporcionales a las alturas, entonces la base BM es a la base EQ como la altura del sólido EHQP es a la altura del sólido BGML. [XI 34].
Pero la base BM es a EQ como el triángulo ABC es al triángulo DEF.[I 34]. Por lo tanto el triángulo ABC es al triángulo DEF como la altura del sólido EHQP es a la altura del sólido BGML.[V 11].
Pero la altura del sólido EHQP es idéntica a la altura de la pirámide DEFH, y la altura del sólido BGML es idéntica a la altura de la pirámide ABCG, entonces la base ABC es a la base DEF como la altura de la pirámide DEFH es a la altura de la pirámide ABCG.
Por lo tanto en las pirámides ABCG y DEFH las bases son inversamente proporcionales a las alturas.
Seguidamente, en la pirámide ABCG y DEFH sean las bases inversamente proporcionales a las alturas, es decir, dado que la base ABC es a la base DEF, entonces la altura de la pirámide DEFH es a la altura de la pirámide ABCG.
Yo digo que la pirámide ABCG es igual a la pirámide DEFH.
Con la misma construcción, dado que la base ABC es a la base DEF como la altura de la pirámide DEFH es a la altura de la pirámide ABCG, y también la base ABC es a la base DEF como el paralelogramo BM es al paralelogramo EQ, entonces el paralelogramo BM es al paralelogramo EQ como la altura de la pirámide DEFH es a la altura de la pirámide ABCG. [V 11].
Pero la altura de la pirámide DEFH es idéntica a la altura del paralepípedo EHQP, y la altura de la pirámide ABCG es idéntica a la altura del paralepípedo BGML, entonces la base BM es a la base EQ como la altura del paralepípedo EHQP es a la altura del paralepípedo BGML.
Pero aquellos sólidos paralepípedos en los cuales las bases son inversamente proporcionales a las alturas son iguales, entonces el sólido paralepípedo BGML es igual al sólido paralepípedo EHQP. [XI 34].
Y la pirámide ABCG es una sexta parte de BGML, y la pirámide DEFH es una sexta parte del paralepípedo EHQP, entonces la pirámide ABCG es igual a la pirámide DEFH.
Por lo tanto, en pirámides iguales con base triangular las bases son inversamente proporcionales a las alturas, y aquellas pirámides cuyas bases son inversamente proporcionales a las alturas son iguales.
Q.E.D.

 

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