PROPOSICIÓN 8 LIBRO XII

Proposición 8. Las pirámides semejantes que tienen como base triángulos guardan una razón triplicada de la razón de sus lados correspondientes.

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Sean las pirámides semejantes y situadas de igual manera con bases triangulares ABC y DEF y vértices G y H.
Yo digo que la pirámide ABCG guarda con la pirámide DEFH una razón triplicada de la que BC guarda con EF.
Complétense los paralepípedos sólidos BGML y EHQP.
Ahora, dado que la pirámide ABCG es semejante a la pirámide DEFH, entonces el ángulo ABC es igual al ángulo DEF, el ángulo GBC es igual al ángulo HEF, el ángulo ABG es igual al ángulo DEH, y AB es a DE como BC es a EF, y como BG es a EH.
Y dado que AB es a DE como BC es a EF, y los lados que comprenden ángulos iguales son proporcionales, entonces el paralelogramo BM es semejante al paralelogramo EQ. Por la misma razón BN es también semejante a ER, y BR semejante a EO.
Por lo tanto los tres paralelogramos MB, BK y BN son semejantes a los tres paralelogramos EQ, EO y ER. Pero los tres paralelogramos MB, BK y BN son iguales y semejantes a sus tres opuestos, y los tres paralelogramos EQ, EO y ER son iguales y semejantes a sus tres opuestos. [XI 24].
Entonces los sólidos BGML y EHQP están comprendidos por planos semejantes e iguales en número. Por lo tanto el sólido BGML es semejante al sólido EHQP.
Pero los sólidos paralepípedos guardan una razón triplicada con sus lados correspondientes. Por lo tanto el sólido BGML guarda con el sólido EHQP la razón triplicada de la que el lado correspondiente BC guarda con el lado correspondiente EF. [XI 33].
Pero el sólido BGML es a la pirámide EHQP como la pirámide ABCG es a la pirámide DEFH, porque la pirámide es una sexta parte del sólido ya que el prisma que es la mitad del sólido paralepípedo es también el triple de la pirámide. [XI.28]. Entonces la pirámide ABCG guarda con la pirámide DEFH la razón triple de lo que BC guarda con EF. [XII.7].
Q.E.D.

COROLARIO
A partir de esto queda claro que las pirámides semejantes con bases poligonales guardan unas con otras la razón triplicada de la de sus lados correspondientes.
Porque, si se dividen en las pirámides contenidas en ellas que tienen bases triangulares, en virtud del hecho que los polígonos semejantes que forman sus bases son también divididos en triángulos semejantes iguales en cantidad y homólogos a los polígonos enteros, entonces como una de las pirámides con la base triangular de la primera pirámide completa es a una de las pirámides con base triangular en la otra pirámide completa así, todas las pirámides con base triangular de la primera pirámide serán a las pirámides con base triangular de la segunda pirámide, esto es, la propia pirámide con la base poligonal es a la pirámide con la base poligonal. [VI 20] [V 12].
Pero la pirámide con la base triangular guarda con la pirámide con la base triangular una razón triplicada de la de sus lados correspondientes, por lo tanto también la pirámide con base poligonal guarda con la pirámide que tiene una base semejante una razón triplicada de la que el lado guarda con el lado.

 

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