PROPOSICIÓN 7 LIBRO XII

Proposición 7. Cualquier prisma que tenga como base un triángulo se divide en tres prismas iguales uno al otro que tienen triángulos como base.

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Sea el prisma con base triangular ABD y el opuesto DEF.
Yo digo que el prisma ABCDEF se divide en tres pirámides iguales una a otra que tienen bases triangulares.
Trazar BD, EC y CD.
Dado que ABED es un paralelogramo, y BD es el diámetro, entonces el triángulo ABD es igual al triángulo EBD. [I 34]. Por lo tanto la pirámide con base triangular ABD y vértice C es igual a la pirámide con base triangular DEB y vértice C. [XII 5].
Pero la pirámide con base triangular DEB y vértice C es idéntica a la pirámide con base triangular EBD con vértice D, porque están contenidas por los mismos planos.
Entonces la pirámide con base triangular ABD y vértice C es también igual a la pirámide con base triangular EBC y vértice D.
De nuevo, dado que FCBE es un paralelogramo, y CE es el diámetro, entonces el triángulo CEF es igual al triángulo CBE. [I 34].
Por lo tanto la pirámide con base triangular BCE y vértice D es igual a la pirámide con base triangular ECF y vértice D. [XII 5].
Pero la pirámide con base triangular BCE y vértice D se ha demostrado que es igual a la pirámide con base triangular ABD y vértice C, entonces la pirámide con base triangular CEF y vértice D es igual a la pirámide con base triangular ABD y vértice C. Entonces el prisma ABCDEF se ha dividido en tres pirámides iguales una a otra que tienen bases triangulares.
Y, dado que la pirámide con base triangular ABD y vértice C es idéntica a la pirámide con base triangular CAB y vértice D, porque están contenidas por los mismos plano, mientras la pirámide con base triangular ABD y vértice C se ha demostrado que es un tercio del prisma con base triangular ABC y el opuesto DEF, entonces la pirámide con base triangular ABC y vértice D es un tercio del prisma con la misma base ABC, y el opuesto DEF.
Por lo tanto, cualquier prisma con base triangular se divide en tres pirámides iguales una a otra con bases triangulares.

COROLARIO
Desde este punto está claro que cualquier pirámide es una tercera parte del prisma con la misma base y la misma altura.
Q.E.D.

 

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D.E.Joyce

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