PROPOSICIÓN 6 LIBRO XII

Proposición 6. Las pirámides que tienen la misma altura y tienen polígonos como base son una a la otra como sus bases.

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Sean las pirámides de igual altura y base poligonal ABCDE y FGHKL y vértices M y N.
Yo digo que la base ABCDE es a la base FGHKL como la pirámide ABCDEM es a la pirámide FGHKLN.
Trazar AC, AD, FH y FK.
Dado que ABCM y ACDM son dos pirámides con la base triangular y la misma altura, entonces son una a la otra como sus bases. Por lo tanto la base ABC es a la base ACD como la pirámide ABCM es a la pirámide ACDM. [XII.5]. Y, por composición, la base ABCD es a la base ACD como la pirámide ABCDM es a la pirámide ACDM. [V 18].
Pero la base ACD es a la base ADE como la pirámide ACDM es a la pirámide ADEM. [XII 5].
Por lo tanto, ex aequali, la base ABCD es a la base ADE como la pirámide ABCDM es a la pirámide ADEM. [V 22].
Y de nuevo, por composición, la base ABCDE es a la base ADE como la pirámide ABCDEM es a la pirámide ADEM. De manera similar también se puede demostrar que la base FGHKL es a la base FGH como la pirámide FGHKLN es a la pirámide FGHN. [V 18].
Y, dado que ADEM y FGHN son dos pirámides de base triangular y la misma altura, entonces la base ADE es a la base FGH como la pirámide ADEM es a la pirámide FGHN. [XII 5].
Pero la base ADE es a la base ABCDE como la pirámide ADEM es a la pirámide ABCDEM. Por lo tanto, ex aequali, la base ABCDE es a la base FGH como la pirámide ABCDEM es a la pirámide FGHN. [V 22].
Pero además la base FGH es a la base FGHKL como la pirámide FGHN es a la pirámide FGHKLN. Por lo tanto, también ex aequali, la base ABCDE es a la base FGHKL como la pirámide ABCDEM es a la pirámide FGHKLN. [V 22].
Por lo tanto, las pirámides de la misma altura y bases poligonales son una a la otra como sus bases.
Q.E.D.

 

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D.E.Joyce

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