Sean las pirámides de igual altura y base triangular ABC
y DEF y vértices G y H.
Yo digo que la base ABC es a la base DEF como la pirámide
ABCG es a la pirámide DEFH.
Porque, si la pirámide ABCG no es a la pirámide DEFG
como la base ABC es a la base DEF, entonces la base ABC es a la
base DEF como la pirámide ABCG es a un sólido menor
que la pirámide DEFH o a uno mayor.
Sea pues, primero, a una razón menor que el sólido
W.
Dividir la pirámide DEFH en dos pirámides iguales
una a otra y semejantes a la pirámide entera y a dos prismas
iguales.
Entonces los dos prismas son mayores que la mitad de la pirámide
entera. [XII 3].
De nuevo, dividamos las pirámides que resultan de la división,
y hagámos esto repetidamente hasta que quede encima de la
pirámide DEFH alguna pirámide que sea menor que el
exceso con el que la pirámide DEFH excede al sólido
W. [X 1].
Dejemos estar esas pirámides, porque el motivo del argumento
es DQRS y STUH. Por lo tanto, los restantes, los prismas en la pirámide
DEFH, son mayores que el sólido W.
Dividamos la pirámide ABCG de manera similar, y el mismo
número de veces, la pirámide DEFH. Entonces la base
ABC es a la base DEF como los prismas en la pirámide ABCG
son a los prismas en la pirámide DEFH. [XII 4].
Pero la base ABC es a la base DEF como la pirámide ABCG es
al sólido W, entonces la pirámide ABCG es al sólido
W como los prismas en la pirámide ABCG son a los prismas
en la pirámide DEFH. Entonces, por alternancia la pirámide
ABCG es a sus prismas como el sólido W es a los prismas en
la pirámide DEFH. [V 11] [V 16].
Pero la pirámide ABCG es mayor que sus prismas, entonces
el sólido W es también mayor que los prismas en la
pirámide DEFH.
Pero también es menor, lo cual es imposible.
Por lo tanto el prisma ABCG no es a ningún sólido
menor que la pirámide DEFH como la base ABC es a la base
DEF.
De manera similar se puede demostrar que la pirámide DEFH
no es a ningún sólido menor que la pirámide
ABCG como la base DEF es a la base ABC.
Yo digo seguidamente que tampoco la pirámide ABCG es a ningún
sólido mayor que la pirámide DEFH como la base ABC
es a la base DEF.
Porque, si fuera posible, lo sería en una razón mayor
que el sólido W.
Por lo tanto, inversamente la base DEF es a la base ABC como el
sólido W es a la pirámide ABCG.
Pero se ha demostrado anteriormente que el sólido W es al
sólido ABCG como la pirámide DEFH es a un sólido
menor que la pirámide ABCG.[XII 2 Lema]. Por lo tanto la
base DEF es a la base ABC como la pirámide DEFH es a un sólido
menor que la pirámide ABCG, lo cual se ha demostrado absurdo.
[V 11].
Por lo tanto la pirámide ABCG no es a un sólido mayor
que la pirámide DEFH como la base ABC es a la base DEF.
