Proposición 4. Si hay dos pirámides de la misma altura que tienen triángulos como base, y cada una de ellas se divide en dos pirámides iguales entre sí y semejantes a la pirámide entera y en dos prismas iguales; entonces tal y como la base de una pirámide es a la base de la otra, entonces serán todos los prismas de una pirámide a todos los prismas iguales en número a la otra pirámide.

Sean dos pirámides de igual altura con bases triangulares ABC y DEF, los puntos G y H los vértices, y sea cada una de ellas dividida en dos pirámides iguales una a otra y semejantes a la pirámide entera y en dos prismas iguales. [XII 3].
Yo digo que la base ABC es a la base DEF como todos los prismas en la pirámide ABCG son a todos los prismas, iguales en número, a la pirámide DEFH.
Dado que BO es igual a OC, y AL es igual a LC, entonces LO es paralela a AB, y el triángulo ABC es semejante al triángulo LOC. Por la misma razón el triángulo DEF es también semejante al triángulo RVF.
Y, como BC es doble de CO, y EF es doble de FV, entonces BC es a CO como EF es a FV.
Y sobre BC y CO se han construido las figuras rectilíneas semejantes ABC y LOC situadas de manera semejante, y sobre EF y FV las figuras DEF y RVF situadas de manera semejante también, por lo tanto el triángulo ABC es al triángulo LOC como el triángulo DEF es al triángulo RVF. [VI 22].
Por lo tanto, por alternancia el triángulo ABC es al triángulo DEF como el triángulo LOC es al triángulo RVF. Pero el triángulo LOC es al triángulo RVF como al prisma de base el triángulo LOC y el opuesto PMN es al prisma con la base RVF y el opuesto STU. [V 16].[Lema XII 4].
Por lo tanto el triángulo ABC es al triángulo DEF como el prisma de base LOC y el opuesto PMN es al prisma con la base RVF y el opuesto STU.
Pero los antedichos prismas son uno al otro como el prisma de base el paralelogramo KBOL y la recta opuesta PM es al prisma con la base el paralelogramo QEVR y la recta opuesta ST. [XI 39].
Por lo tanto los dos prismas, el que tiene de base el paralelogramo KBOL y el opuesto PM, y el que tiene de base el triángulo LOC y el opuesto PMN guardan la misma razón que los prismas de base QEVR y la línea recta opuesta ST y el de base el triángulo RVF y el opuesto STU. [V 12].
Entonces la base ABC es a la base DEF como los dos prismas antedichos lo son a los dos prismas antedichos.
Y de manera semejante, si la pirámide PMNG y STUH son divididas en dos prismas y en dos pirámides, entonces la base PMN es a la base STU como los dos prismas de la pirámide PMNG lo son a los dos prismas de la pirámide STUH.
Pero la base PMN es a la base STU como la base ABC es a la base DEF, porque los triángulos PMN y STU son iguales a los triángulos LOC y RVF respectivamente.
Entonces la base ABC es a la base DEF como los cuatro prismas son a los cuatro prismas. Y de manera semejante, si dividimos las pirámides restantes en dos pirámides y en dos prismas, entonces la base ABC es a la base DEF como todos los prismas de la pirámide ABCG son a todos los prismas, iguales en número, de la pirámide DEFH.

LEMA
Pero ya que el triángulo LOC es al triángulo RVF como el prisma de base el triángulo LOC y opuesto PMN es al prisma con base el triángulo RVF y el opuesto STU, lo demostraremos seguidamente.
En la misma figura dibujamos perpendiculares desde G y H a los planos ABC y DEF. Éstas son, evidentemente, iguales dado que las pirámides son de igual altura según la hipótesis. [XI 11].
Ahora, dado que las dos rectas GC y la perpendicular desde G han sido cortadas por los planos paralelos ABC y PMN, entonces han sido cortadas en las mismas razones. [XI 17].
Y GC se bisecciona por el plano PMN en N, entonces la perpendicular desde G al plano ABC se ha biseccionado también por el plano PMN. Por la misma razón la perpendicular desde H al plano DEF es también biseccionado por el plano STU.
Y la perpendicular desde G y H a los planos ABC y DEF son iguales, entonces la perpendicular desde los triángulos PMN y STU a los planos ABC y DEF son iguales también.
Por lo tanto los prismas con las bases los triángulos LOC y RVF, y los opuestos PMN y STU, tienen la misma altura.
De modo que los paralepípedos sólidos descritos en los prismas anteriores son de igual altura y son uno al otro como sus bases. Entonces las mitades, de dichos prismas, son uno al otro como la base LOC es a la base RVF. [XI.32] [XI.28].

Q.E.D.